Velocidad de fase, velocidad de grupo y dispersión de velocidad de grupo (GVD)

Estoy estudiando qué le sucede a un paquete de ondas si se propaga en un medio en condiciones de óptica lineal. En mis ecuaciones tengo el vector de onda.$k=\frac{\omega}{c}n(\omega)$(llamado a menudo$\beta$) que se desarrolla en serie de Taylor como:

$\beta(\omega)\simeq\beta(\omega_0)+\left.\frac{d\beta}{d\omega}\right|_{\omega_0}(\omega-\omega_0)+\left.\frac{d^2\beta}{d\omega^2}\right|_{\omega_0}(\omega-\omega_0)^2=\beta(\omega_0)+\beta_1(\omega-\omega_0)+\beta_2(\omega-\omega_0)^2$

Si consideramos sólo$\beta_1$, obtenemos:

$\beta_1=\left.\left[\frac{d}{d\omega}\frac{\omega}{c}n(\omega)\right]\right|_{\omega_0}=\frac{n(\omega_0)}{c}+\frac{\omega_0}{c}\left.\frac{dn}{d\omega}\right|_{\omega_0}$

donde el primer elemento es claramente el inverso de la velocidad de fase$v_p$de una onda de frecuencia$\omega_0$, el segundo es un término "correctivo" y todos juntos dan el inverso de la velocidad del grupo$\beta_1=\frac{1}{v_g}$. De RP Photonics "El término de primer orden contiene la velocidad de grupo inversa (es decir, el retraso de grupo por unidad de longitud) y describe un retraso de tiempo general sin efecto en la forma del pulso". Entonces, si supongo$\beta_2=0$Obtengo un pulso viajero que no estará sujeto a la ampliación del tiempo. También es claro que, si$n$no depende de la frecuencia (como en el vacío) obtenemos$v_p=v_g$; viceversa, si$n=n(\omega) \Rightarrow v_g\neq v_p$, por lo que la forma se moverá a una velocidad diferente con respecto a su fase.

Ahora bien, mi pregunta es la siguiente:

Supongamos que tenemos el segundo caso, que es un pulso gaussiano cuya envolvente se mueve a una velocidad de grupo diferente con respecto a la velocidad de fase, como se muestra en este enlace: ( https://en.wikipedia.org/wiki/File:Wave_packet_propagation_(phase_faster_than_group ,_no dispersivo).gif ). Para que esto suceda tengo que suponer que$n$depende de la frecuencia por lo que, de la ecuación anterior, las dos velocidades son diferentes. Pero si$n=n(\omega)$, esto significa que cada onda que compone el paquete gaussiano se moverá a una velocidad diferente como se muestra en la Figura 1 en este enlace ( https://www.rp-photonics.com/group_velocity.html ) donde se propagan los frentes de fase de diferentes componentes de frecuencia con diferentes velocidades más rápidas que la velocidad del grupo y la forma del pulso no se está ampliando. De mi libro leí "La dispersión de velocidad de grupo (GVD) está dada por la dependencia de$v_g$de$\omega$: dentro de la envolvente, diferentes frecuencias se mueven a diferente velocidad y esta es la causa del ensanchamiento temporal del pulso".

Si las velocidades son diferentes, ¿por qué el pulso no se ensancha? Y, si son posibles diferentes velocidades sin tener un ensanchamiento temporal del pulso, ¿cuál es la causa física de ese ensanchamiento?

EDITAR:

Después de mucha investigación, he aclarado algunas de las dudas sobre el problema que mencioné anteriormente. Me ayudó mucho este PDF (enlace: http://sharif.edu/~kavehvash/Group_Phase_Velocity.pdf ) que explica lo que sucede con las velocidades de fase y grupo según la relación de dispersión. En particular, se distinguen dos casos:

1. La relación de dispersión es lineal: esto hace que la velocidad de grupo y la velocidad de fase sean iguales. Esto sucede porque en esta condición debería ser$n=n_0$y de la fórmula de$\beta_1$obtenemos$v_g=v_p$.

2. La relación de dispersión no es lineal : en este caso, las dos velocidades siempre son diferentes entre sí (a menos que tenga condiciones restrictivas especiales). Esto se debe al hecho de que$n=n(\omega)$y cada componente se mueve a una velocidad diferente. Del PDF: "Una consecuencia muy importante de esto es que nuestro paquete de ondas inicial se amplía con el tiempo porque las ondas parciales que lo forman se desfasan gradualmente entre sí" y esto porque, si$v_p=v_p(\omega)$, entonces$v_g=v_g(\omega)$. La única alternativa para la que$v_g$no depende de$\omega$y no ensancha es que es$0$, es decir, hay una onda estacionaria.

Si lo que he escrito es correcto me quedo con la última duda: ¿es posible tener$v_g\neq v_p$sin obtener una ampliación de tiempo como se muestra en los siguientes dos enlaces?

Enlace 1: https://en.wikipedia.org/wiki/File:Wave_packet_propagation_(phase_faster_than_group,_nondispersive).gif

Enlace 2 (Figura 1): https://www.rp-photonics.com/group_velocity.html

Si es así, ¿cómo?