¿Cómo se encuentra la función de velocidad de una onda mecánica?

Puedes (y, de hecho, tienes que) aplicar la derivada para encontrar la velocidad, pero requiere un poco de razonamiento cuidadoso.

Primero, piensa en esto: ¿cuál es exactamente la velocidad de una onda? Es la velocidad a la que se mueve un punto particular de la estructura de la ola. Los puntos en la estructura de la onda se identifican por su fase , que es el argumento de la$\sin$función. Por ejemplo, un pico se identifica por fase$\phi = \frac{n\pi}{2}$, dónde$n$es un entero impar. Así que estás buscando la velocidad de un punto de fase constante .

Una vez que sepa eso, puede diferenciar implícitamente la expresión de fase,

$$\phi = kx - \omega t + \phi_0$$

teniendo en cuenta que$\phi$es constante:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\phi = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[kx - \omega t + \phi_0]$$

donación

$$0 = k\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} - \omega$$

o

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{\omega}{k}$$

que es la expresión de la velocidad de una onda sinusoidal.

David y Mark explicaron cómo se puede estimar la velocidad$v_x$de la forma de propagación a lo largo de la dirección de propagación.

Hay otra velocidad, digamos, la velocidad vertical$v_y$en un lugar dado que es bastante diferente y se determina con la amplitud de la onda, la frecuencia y el tiempo:$v_y = A\omega cos(\omega t - kx - \phi_0)$. es variable

¿Qué crees que significa la velocidad de una onda?

Bueno, es la velocidad de cualquier punto de la onda, así que elige uno donde$y(x_1,t_1) = C$decir. Durante un tiempo adicional$t_2$, el punto se habrá movido una distancia adicional$x_2$y como estamos viendo el mismo punto, esto significa$y(x_1+x_2, t_1+t_2) = C$también.

te dicen que$y(x,t)=A\sin(k_x-w_t+O)$, entonces$A\sin(k_{x_1}-w_{t_1}+O) = C$, entonces$k_{x_1}-w_{t_1}+O = D$. En un tiempo adicional$t_2$y distancia$x_2, k(x_1+x_2) - w(t_1+t_2) + O = D$. Restar estas dos expresiones entre sí da,

$$\begin{align} k(x_1+x_2)-k(x_1) - w(t_1+t_2) + w(t_1) &= 0,\\[5pt] \frac{(x_1+ x_2)-(x_1)}{(t_1+t_2)-(t_1)} &= \frac wk\\[5pt] v &= \frac wk \end{align}$$