¿Cómo calcular la velocidad de fase y de grupo de una superposición de ondas sinusoidales con diferente velocidad y longitud de onda?

Los dos gráficos superiores del sitio web MakeaGIF.com son para ondas de una frecuencia/longitud de onda que viajan a diferentes velocidades de fase, como se muestra en el movimiento del punto rojo y azul que se encuentra en la parte superior de una cresta.
El término fase se usa porque está observando la partícula que forma el medio en su máxima excursión ascendente desde la posición de equilibrio y la velocidad de esa cresta se mide como la distancia recorrida por una cresta dividida por el tiempo que tarda en recorrer esa distancia.
Podrías haber elegido igualmente seguir un canal o cuando las partículas tenían un desplazamiento cero o la fase$kx-\omega t = \text{constant}$.
La diferenciación de esta expresión da la velocidad de fase como$\left (\dfrac{dx}{dt}\right)_{\rm phase} = \dfrac \omega k$

El gráfico inferior es la suma de los dos gráficos superiores y notará que una envolvente de modulación cuyo pico, como lo muestra el punto rojo, viaja a la velocidad del grupo donde el grupo se refiere al movimiento de un número (grupo) de ondas sumadas y$\left (\dfrac{dx}{dt}\right)_{\rm group} = \dfrac {\Delta\omega} {\Delta k}$.
Esto se deriva del término coseno de French donde desea que el término entre paréntesis sea un máximo con$\omega = \omega_1-\omega_2$y$\Delta k = k_1- k_2$y seguir el movimiento de ese máximo.

Con suerte, las animaciones gif a continuación del Instituto de Investigación de Sonido y Vibraciones (isvr) lo ayudarán a diferenciar entre la velocidad de grupo y la velocidad de fase.

La forma de obtener la velocidad es exactamente la misma que se indica en el enlace que compartió, con algunas reinterpretaciones. Para el caso de una sola onda sinusoidal viajera, exigimos la condición de que la fase permanezca constante, es decir,

$$kx-\omega t=\text{constant}$$ Esto implica que $$k\frac{dx}{dt}-\omega=0$$ lo que nos da la velocidad de la onda Aquí, comenzamos con la ecuación, $$y(x,t)=2\text{A }\text{sin}\bigg(\frac{k_1+k_2}{2}x-\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t \bigg)\text{cos}\bigg(\frac{k_1-k_2}{2}x-\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t \bigg)$$ Podemos pensar en esto de dos maneras, $$y(x,t)=\text{C}_1(x,t)\text{ }\text{cos}\bigg(\frac{k_1-k_2}{2}x-\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t \bigg)$$ que es la ecuación de una onda viajera con frecuencia angular$(\omega_1-\omega_2)/2$y número de onda$(k_1-k_2)/2$cuya amplitud, en vez de ser constante, es una función del espacio y del tiempo (A modo de comparación, recordad que algo similar sucede en el caso de las funciones de Bloch). De esta forma, la ecuación describe la dinámica de la envolvente y absorbe los efectos de las ondas dentro de la envolvente en la modulación de la amplitud. Ahora, aplicando la misma condición que antes, obtenemos que la velocidad de la envolvente es, $$v_g=\frac{\omega_1-\omega_2}{k_1-k_2}$$ y llamamos a esto la velocidad de grupo. De manera similar, podríamos considerar la dinámica de las ondas individuales mientras tratamos la envolvente como una modulación de amplitud. En este caso, trabajamos con $$y(x,t)=\text{C}_2(x,t)\text{ }\text{cos}\bigg(\frac{k_1+k_2}{2}x-\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t \bigg)$$ y aplicando la condición de que la fase sea constante nos da la velocidad de las ondas, que llamamos velocidad de fase, $$v_p=\frac{\omega_1+\omega_2}{k_1+k_2}$$ Este tipo de separación de grados de libertad lentos y rápidos es omnipresente en toda la física.

La velocidad de fase es simplemente la velocidad de la onda plana en el sentido habitual:$v_p=\omega/k=v$. La velocidad de grupo , con definición

$$v_g=\left.\frac{\partial \omega}{\partial k}\right|_{k=k_0}\tag{1}$$ , se deriva originalmente de la presunción de un paquete de ondas viajeras (consulte esta Wikipedia para obtener más detalles. En lo que sigue, se utilizarán anotaciones y símbolos similares a los del artículo) con un valor de momento medio de$k_0$. En ese artículo, la función del paquete de ondas en el espacio y el tiempo se escribe como $$\begin{align} \alpha(x,t)=\int dkA(k)e^{i(kx-\omega t)}\tag{2} \end{align}$$ Tenga en cuenta que la integral aquí significa superposición de un número infinito de ondas planas viajeras de valor complejo$e^{i(kx-\omega t)}$, su pregunta se hace aquí con la superposición de solo dos números de onda$k_1$y$k_2$es solo un caso especial. Puedes reescribir (2) como

$$\begin{align} \alpha(x,t)=e^{i(k_0x-\omega_0 t)}\int dkA(k)e^{i(k-k_0)(x-\omega'_0 t)}\tag{3} \end{align}$$ donde expansión de Taylor a primer orden$\omega\approx \omega_0+(k-k_0)\omega'_0$se usa La principal diferencia entre los dos integrandos en (2) y (3) es que todos los componentes del término exponencial en la integral de (3) tienen la misma "velocidad de fase" de$\frac{(k-k_0)\omega'_0}{(k-k_0)}=\omega'_0$, independiente de la variable de integración$k$. Por lo tanto, se identifica como la velocidad de grupo de la envolvente del paquete de ondas.

Volviendo a su pregunta de: ¿cómo identificar qué término corresponde a velocidad de fase o velocidad de grupo? Para el caso simple de sumar dos ondas planas con constante$k$y$\omega$, la excelente visualización de la otra respuesta muestra que la onda que llamamos "envolvente" debe tener una longitud de onda más larga que las ondas "internas". Desde$k=2\pi/\lambda$, podemos concluir que el término coseno con menor número de onda ($\frac{k_1-k_2}{2}$Opuesto a$\frac{k_1+k_2}{2}$) corresponde a la velocidad de grupo de la envolvente de la onda. Si reconocemos que (1) es correcto, entonces también podemos ver que la "velocidad de fase" del término coseno es consistente con la definición de la velocidad de grupo de la envolvente de onda:

$$\begin{equation} \frac{(\omega_1-\omega_2)/2}{(k_1-k_2)/2}=\frac{(\omega_1-\omega_2)}{(k_1-k_2)}=\frac{\partial \omega}{\partial k} \end{equation}$$ . Este último se sigue directamente porque todos$k_1,k_2,\omega_1,\omega_2$son constantes en tu ejemplo.