Compatificación conforme de Minkowski y AdS

Se supone que la compactación conforme pertenece al espacio proyectivo, por lo que todavía identificamos puntos a lo largo de los rayos (clases de equivalencia bajo escala)

$$(u,v,x_i)\sim \lambda (u,v,x_i), \quad \lambda \neq 0$$ Luego está la ecuación cuádrica que escribiste, una ecuación que respeta la identificación anterior, por lo que ambas variables sumaron $u,v$están bastante eliminados.

Para$v\neq 0$, puedes escalar$v$usando la equivalencia anterior para$v=1$, y$u$está determinada por la cuádrica. Entonces el$v\neq 0$parte de la compactación conforme puede ser parametrizada por$x_i$, tal como dijiste.

Para$v=0$, claramente obtenemos "nuevos puntos" que se agregan al espacio de Minkowski. Entonces, el espacio resultante no es exactamente igual que el espacio de Minkowski. Tiene puntos nuevos. Si fuera exactamente igual, no lo llamaríamos "la compactación conforme del espacio de Minkowski" sino simplemente "el espacio de Minkowski" (en otras coordenadas).

Los puntos que obtienes por$v=0$puede tener un arbitrario$u$pero todavía tienes la ecuación que se reduce a

$$\eta_{ij} x^i x^j = 0$$ y la equivalencia de escala. Este último nos permite establecer $u=1$, Por ejemplo. Entonces los puntos agregados de $v=0$están en correspondencia uno a uno con los vectores nulos $x^i$en el espacio de Minkowski. También puede visualizar estos nuevos $v=0$apunta diferente. Si escalas el vector $(u,v,x^i)$con $v=0$para que consigas $v=1$, ambos $u$y $x^i$se escalará a valores infinitos. Más precisamente, imagina $v=\epsilon$, $u=c_u/\epsilon$, $x^i= c_x^i / \epsilon$. Aquí $c_u$se calcula a partir de la cuádrica pero el punto es que estamos sumando clases de puntos $c^x_i/\epsilon$que están en el infinito, tanto en las direcciones espacial, temporal y nula. Se necesitaría una discusión especial para describir la topología cerca de la transición nula entre las dos regiones, etc.

Estas sutilezas especiales hacen que la interpretación de la compactación conforme sea un poco complicada. El resultado es simple para el espacio de Minkowski de 1+1 dimensiones. La compactación conforme es en realidad$S^1\times S^1$. El diagrama causal de Penrose parece$I^1\times I^1$, el producto de dos intervalos de línea (el diamante), pero la compactación conforme lo completa y conecta los extremos de ambos intervalos de línea para producir un círculo. Debido a la discusión del diagrama causal de Penrose, podemos ver que en realidad no estamos agregando puntos en el infinito desde "direcciones genéricas", sino solo aquellos que están cerca del cono de luz. Los puntos genéricos en el infinito tendrían$\eta_{ij}x^ix^j$escalando como$1/\epsilon^2$pero la compactación conforme solo selecciona aquellos donde esta escala como$1/\epsilon$.

si agregas$1$en el lado derecho de la ecuación cuadrática, no obtienes solo una "compactación conforme del espacio AdS". ¡Obtienes el espacio AdS en sí mismo! El espacio global de AdS se puede definir como el hiperboloide dado exactamente por la ecuación que anotó, sin ninguna identificación de escala en este caso (la ecuación no es invariante de escala debido a la$1$término en el lado derecho, por lo que sería imposible). Y de hecho, uno puede ver que$AdS_{d+1}$tiene la simetría$SO(d,2)$desde el (por uno) espacio de dimensiones superiores donde está incrustado el hiperboloide.