¿Cómo y por qué la compactación toroidal no captura la física observada?

Empiezo con un resumen:

• Las compactaciones toroidales de Kaluza-Klein solo le darán fuerzas abelianas como el electromagnetismo, pero no fuerzas no abelianas como las fuerzas nucleares.
• Las compactaciones más generales de Kaluza-Klein pueden generar fuerzas no abelianas, pero no pueden hacer que las interacciones sean quirales (dependiendo de la lateralidad de la partícula de materia), como se requiere para la fuerza débil
• La teoría de cuerdas tiene dimensiones adicionales, e incluso tiene modelos realistas basados ​​en la compactación toroidal. Sin embargo, la teoría de cuerdas no obtiene las fuerzas observadas a la antigua usanza de Kaluza-Klein, como resultado de simetrías de las dimensiones extra.

Ahora, los detalles:

Creo que es importante enfatizar primero que esto es solo una parte de un tema más amplio, la compactación de dimensiones adicionales. Un toro es solo una opción, para la forma de las dimensiones adicionales. También existe la opción más simple de una (hiper)esfera, así como un sinfín de opciones más complejas (por ejemplo, los famosos espacios de Calabi-Yau).

Otro hecho importante es que una parte central de la antigua visión de Kaluza-Klein ya no se persigue. En lenguaje contemporáneo, diríamos que se trata de obtener campos de calibre (es decir, fuerzas fuertes y electrodébiles) a partir de las simetrías (isometrías) del espacio compacto. Así pensaba la gente, hasta la teoría de cuerdas. En la fenomenología de cuerdas, las fuerzas observadas no se obtienen de esa manera. Las excitaciones de Kaluza-Klein existen en la teoría de cuerdas, pero son solo un tipo de excitación entre muchas y no se espera que expliquen las fuerzas observadas . (Conozco a una persona que ha propuesto seguir la fenomenología clásica de Kaluza-Klein dentro de la teoría de cuerdas, pero no es un teórico de cuerdas).

Entonces, cuando pregunta sobre las limitaciones de las compactaciones toroidales, hay alguna diferencia en cuanto a si está hablando de la teoría de cuerdas o del clásico Kaluza-Klein. El libro al que se vincula es un texto de teoría de cuerdas, por lo que cuando hablan de los límites de las compactaciones toroidales, es desde la perspectiva de la teoría de cuerdas. Su preocupación declarada es que las compactaciones toroidales no rompen la supersimetría lo suficiente. Su principal preocupación sería que, para coincidir con la realidad, se necesita que la teoría sea "quiral" (más sobre esto a continuación), y eso requiere supersimetría con "N" menor o igual a 1.

Ahora, de hecho, es posible obtener modelos realistas a partir de compactaciones toroidales de la teoría de cuerdas. Pero necesitas algo extra. Citando un artículo de 2015 :

El modelo estándar es una teoría quiral. Por lo tanto, el punto clave para realizar el modelo estándar es cómo realizar una teoría quiral. La compactación toroidal es simple, pero no puede realizar una teoría quiral a menos que se introduzcan antecedentes adicionales. Las compactaciones Orbifold y Calabi-Yau pueden conducir a una teoría quiral. La compactación toroidal con flujos magnéticos también puede conducir a una teoría quiral. Aquí, estudiamos tal trasfondo. Es decir, nuestros ingredientes clave son los múltiples flujos magnéticos U(1) insertados en el grupo de calibre SO(32).

Mencioné que la fenomenología de cuerdas no obtiene las fuerzas no gravitatorias observadas a través del mecanismo clásico de Kaluza-Klein. Este papel es un ejemplo. Su teoría de cuerdas ya comienza con un campo de calibre SO(32), y luego los flujos magnéticos en las dimensiones adicionales rompen el grupo de simetría en algo más pequeño. Así es como surgen las fuerzas fuerte y electrodébil en su modelo, no como un eco de Kaluza-Klein de la gravedad en las dimensiones compactas.

Llaman al modelo resultante realista, porque tiene todos los tipos necesarios de partículas y fuerzas. Podríamos intentar discutir qué problemas quedan por resolver, pero creo que sus intereses se encuentran más en la dirección del clásico Kaluza-Klein, así que pasemos a ese tema ahora.

Diría que el cenit de la teoría clásica de Kaluza-Klein se encuentra en el artículo de Witten de 1981 "Buscar una teoría realista de Kaluza-Klein" . Tal vez uno debería llamar a esta teoría moderna de Kaluza-Klein (que data del renacimiento de las dimensiones superiores en la física teórica en la década de 1970, debido a la supergravedad), reservando la teoría clásica de Kaluza-Klein para el trabajo de Kaluza y Klein de la década de 1920. Pero de cualquier manera, estamos hablando de la estratagema previa a la supercuerda de obtener fuerzas de calibre de las simetrías de las dimensiones adicionales.

Si nos restringimos a compactaciones puramente toroidales en este contexto, un problema es que no podremos obtener las fuerzas fuerte y débil, porque sus grupos de simetría son "no abelianos", pero un toro solo puede darnos un "abeliano". " simetría de la forma "U(1) ⁿ ". U(1) se refiere al grupo de matrices unitarias complejas 1x1, es decir, números complejos de módulo 1, es decir, el grupo de rotaciones de un círculo. Es la simetría que posee la quinta dimensión periódica de Klein, y es el grupo de simetría del electromagnetismo. Topológicamente, un toroide n-dimensional es un producto de n círculos, y su grupo de simetría consta de n rotaciones independientes, por lo tanto, U(1) ⁿ. Pero para la fuerza débil necesitas SU(2) (matrices 2x2), y para la fuerza fuerte necesitas SU(3), así que necesitarías algo más que un toro para obtener esos grupos.

Witten no se limita a los toros, por lo que puede identificar toda una familia de variedades de siete dimensiones con simetría SU(3) x SU(2) x U(1). Genial, puedes obtener las fuerzas del modelo estándar de esa manera. Sin embargo, el verdadero problema surge cuando se considera la cuestión del modelo estándar.

"El modelo estándar es una teoría quiral", dijeron los teóricos de cuerdas japoneses en el artículo citado anteriormente. Esto significa que las partículas vienen en formas levógiras y levógiras y, a veces, la respuesta a una fuerza difiere según la orientación. Y es esa respuesta diferente, esa clásica Kaluza-Klein es incapaz de producir. No hay forma aparente de hacer que la interacción en las dimensiones adicionales sea sensible a la direccionalidad del campo de materia en las dimensiones macroscópicas. "Trata a los fermiones cuadridimensionales zurdos y diestros de la misma manera", escribe Witten. Él considera varias salidas, y estoy seguro de que otras personas también lo han hecho, pero en general, este es el único gran problema que detuvo el programa clásico de Kaluza-Klein en su forma moderna.