Teorías de Kaluza Klein, campo de dilatación y reducción dimensional

Repasemos rápidamente la compactación KK estándar. Empezamos con un$d+1$teoría dimensional

$$S = \frac{1}{16\pi G_{d+1}} \int d^{d+1}x \sqrt{G} R_{d+1}$$ Acciones más generales sobre el $d+1$Se puede considerar el espacio dimensional, pero esto será suficiente para nuestros propósitos. la métrica $G_{MN}$se puede descomponer como $$ds^2 = G_{MN} dx^M dx^N = e^{2\Phi} \left( dt + A_\mu dx^\mu \right)^2 + g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$ Suponemos ahora que $t$es la dirección compactada con $t \sim t + 2 \pi R$. La teoría tiene las siguientes simetrías.

1. $d$difeomorfis -dimensionales,$x^\mu \to x'^\mu(x)$bajo el cual$A_\mu$y$g_{\mu\nu}$se transforman como tensores de rango 1 y 2 respectivamente.

2. Transformaciones de calibre a lo largo de las direcciones compactadas,$t \to t + \lambda(x)$,$A_\mu \to A_\mu - \partial_\mu \lambda$. Esta simetría describe esencialmente la elección local del origen en la dirección compactada.

Ahora, si las escalas de longitud de nuestro problema son grandes en comparación con el radio del círculo compactado$R$, entonces asumimos que$\Phi$,$A_\mu$, y$g_{\mu\nu}$son solo funciones de$x^\mu$y no$t$. (Esto solo se hace aquí para simplificar las cosas. Se puede considerar el caso más general donde los campos se expanden en modos en el$t$dirección. Esto nos da partículas masivas en el$d$-espacio dimensional. No lo consideraremos aquí). Con esta suposición, encontramos

$$R_{d+1} = R_d - 2 e^{-\Phi} \nabla^2 e^{\Phi} - \frac{1}{4} e^{2\Phi} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu},~~ \sqrt{G} = e^{\Phi} \sqrt{g}$$ La acción entonces toma la forma $$S = \frac{2\pi R}{16\pi G_{d+1}} \int d^d x \sqrt{g} e^{\Phi} \left[ R_d - \frac{1}{4} e^{2\Phi} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + \nabla_\mu \Phi \nabla^\mu \Phi \right]$$ Así, notamos que en el $d$-espacio dimensional, tenemos un campo de medida y un campo escalar. La acción no está del todo en la forma de Einstein-Hilbert ya que el campo escalar $\Phi$parejas a $R_d$y $F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$no trivialmente. Además, el término cinético para $\Phi$tiene el signo equivocado. Este campo se llama dilatón.

Para entender por qué$\Phi$se llama el dilaton (relacionado con la dilatación, o en otras palabras escala), volvamos a la$d+1$métrica dimensional. Considera el$S^1$viviendo en un punto fijo$x^\mu$. La métrica inducida en este círculo es

$$ds^2_{S^1} = e^{2\Phi(x^\mu)} dt^2$$ El tamaño de este círculo es $$\int ds_{S^1} = \int_0^{2\pi R} dt e^{\Phi(x^\mu)} = 2\pi R e^{\Phi(x^\mu)}$$ Por lo tanto, vemos que el radio efectivo del círculo en $x^\mu$es $R e^{\Phi(x^\mu)}$. En otras palabras, el campo de dilatación controla el tamaño del círculo.

Aparte, la acción compactada anterior está escrita en lo que se llama el marco de cuerdas (el nombre proviene de la teoría de cuerdas). Es posible ir al marco de Einstein más estándar (donde la acción toma la forma$\sqrt{g} R$, etc) haciendo una redefinición de campo$g_{\mu\nu} \to e^{2\omega} {\tilde g}_{\mu\nu}$y eligiendo adecuadamente$\omega$. En este marco, el término cinético escalar tiene el signo correcto. Sin embargo, todavía tenemos un acoplamiento no trivial para$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$.