Kaluza-Klein en la teoría de supercuerdas

Está hablando de las dos formas de construir una teoría de cuerdas heterótica de 10 dimensiones consistente . El artículo original "Teoría de cuerdas heteróticas: I. La cuerda heterótica libre" de Gross, Harvey, Martinec y Rohm es bastante accesible y describe la construcción detallada. Abordaré su pregunta específica de cómo la compactación en un toro logra generar grupos tan "grandes" como$\mathrm{SO}(32)$y$E_8\times E_8$sin dar los detalles.

Tiene razón en que normalmente esperaríamos solo un estilo Kaluza-Klein$\mathrm{U}(1)^{16}$de compactar en un toroide de 16 dimensiones. Sin embargo, este grupo de calibre como grupo de calibre para una teoría SUGRA 10d está prohibido ya que las anomalías gravitacionales y de calibre no se cancelan, por lo que esta construcción no solo no produce la cuerda heterótica conocida, sino que no produce una teoría efectiva consistente en ¡todo!

El punto crucial es "elegir el toro correcto", es decir, las proporciones de los radios de los 16 círculos deben elegirse específicamente para producir una teoría consistente. La forma habitual de codificar esta elección es pensar en el$T^{16}$como$\mathbb{R}^{16}/\Gamma$, dónde$\Gamma$es una red discreta de dieciséis dimensiones. Ahora se examina la parte bosónica del espectro de una cuerda heterótica cerrada sobre este fondo. Resulta que las excitaciones que corresponden a la cuerda que se "enrolla" alrededor de las dimensiones compactadas se vuelven sin masa en elecciones especiales de$\Gamma$. Esas excitaciones, junto con los modos habituales de Kaluza-Klein sin masa, ahora se transforman juntos como el adjunto de un grupo de calibre más grande.$G$estrechamente relacionado con la red$\Gamma$, que resulta ser la red de raíces de$G$. Ahora las dimensiones de la geometría y los grupos coinciden en la forma en que la dimensión de la red/toro corresponde al rango (no a la dimensión) del grupo, por lo que el toro de 16 dimensiones no tiene problemas para generar las 496 dimensiones.$E_8\times E_8$.

Otras consideraciones sobre la consistencia de la teoría de cuerdas que interactúan restringen fuertemente la red$\Gamma$ser integral, autodual e incluso. En 16 dimensiones, las dos únicas redes de este tipo que existen son las asociadas con$E_8\times E_8$y$\mathrm{SO}(32)$. Como nota al margen interesante, Adams, deWolfe y Taylor demostraron recientemente (2010) en "Universalidad de cuerdas en diez dimensiones" que las otras dos opciones de grupos de calibre, en particular$\mathrm{U}(1)^{496}$, no poseen un mecanismo Green-Schwarz consistente y son anómalos, por lo que estos dos grupos son realmente los únicos grupos de calibre permitidos para un SUGRA 10D$\mathcal{N}=1$teoría del calibre.

Creo que estás pensando en la compactación toroidal. Para la cuerda bosónica consideramos$O(26-d,10-d, \mathbb R)$para el conjunto de transformaciones que compactan a la$10$supergravedad dimensional. Esto es para$26-d$operadores de vértice$\partial X^\mu\psi^i$y$10-d$operadores de vértice$\partial X^i\psi^\mu$. Se supone que la red de raíces está dada por algún grupo discreto$\Gamma$y para$g~\in~O(26-d,10-d)$podemos construir una teoría de cuerdas heterótica. Para el espacio de módulos

$${\cal M}~=~\frac{O(26-d,10-d,\mathbb r)}{O(26-d,\mathbb R)\times O(10-d,\mathbb R)\times O(26-d,10-d,\mathbb Z)}$$ $$=~\frac{g}{g_1\times g_2\times O(26-d,10-d,\mathbb Z)},$$ dónde $O(26-d,10-d,\mathbb Z)$es el grupo de dualidad T del grupo modular o Mobius de transformaciones fraccionarias lineales. Esta solución satisface $g_1gg_2\Gamma~\simeq~g\Gamma$. entonces tenemos $10-d$bosones de Kaluza-Klein y $26-d$

Para$d~=~5$esta es la compactación de la$26$cuerda bosónica dimensional y para$d-2$esto ha terminado$SO(32)$cadena cuando se restringe al grupo ortogonal especial. Esto entonces da

$$SO(32)\times U(1)^{36-2d}~\simeq~E_8\times E_8\times U(1)^{36-2d}.$$ el toro es $36-2d$dimensional, que para $d~=~10$es el $\mathbb T^{16}$