¿Cómo imaginar dimensiones superiores?

La definición de dimensión utilizada aquí es la de una dimensión de una variedad : esencialmente, cuántas coordenadas (= números reales) necesitamos para describir la variedad (pensada como espacio-tiempo).

Las variedades pueden llevar una noción de longitud y otra de volumen . También pueden ser compactos o no compactos , correspondiendo aproximadamente ^{1 a} finito e infinito . Por ejemplo, una esfera de radio$R$es compacto y bidimensional: cada punto en él se puede describir mediante dos ángulos, y su volumen es finito como$\frac{4}{3}\pi r^2$. Espacio euclidiano ordinario$\mathbb{R}^3$no es compacto y es tridimensional: cada punto en él está descrito por tres números reales (distancia dirigida desde un origen elegido arbitrariamente), y no puede asociarle un volumen finito.

Ten en cuenta que, en la esfera, puedes ir aumentando cualquiera de las coordenadas y, tarde o temprano, volverás al punto de partida. Todas las dimensiones aquí son "pequeñas"/compactas. En el espacio euclidiano, nunca regresas al origen, no importa cuán lejos vayas. Todas las dimensiones son "grandes"/no compactas.

Un cilindro infinitamente largo es ahora un ejemplo de donde las dos dimensiones son diferentes. Tome como coordenadas las dos obvias: la longitud (qué tan lejos está "hacia abajo"/"hacia arriba" en el cilindro) y el ángulo (en qué parte del círculo está a esa longitud). La dimensión de longitud no es compacta: nunca regresa a su punto de partida si sigue aumentando esa coordenada. La coordenada del ángulo es compacta: vuelves después$2\pi$a su punto de partida, y el "tamaño" de la dimensión es el radio del círculo. Este es un ejemplo de una "dimensión enrollada". Si eres mucho más grande que el radio, es posible que ni siquiera notes que estás en un cilindro y, en cambio, pienses que estás en una línea unidimensional.

^{1 La definición matemática consiste en cubrir propiedades que no se traducen tan fácilmente a la intuición.}

En geometría diferencial , un espacio de un número determinado de dimensiones puede ser curvo en lugar de euclidiano , por lo que, por ejemplo, la superficie de una esfera se entiende como un espacio bidimensional a pesar de que no podemos evitar visualizar el esfera sentada en un espacio euclidiano 3D de dimensiones superiores. Este espacio 3D en el que imaginamos que se asienta la superficie 2D se conoce técnicamente como "espacio de incrustación", pero las matemáticas de la geometría diferencial permiten a los matemáticos y físicos describir la curvatura de las superficies en términos puramente "intrínsecos" sin necesidad de ningún espacio de incrustación . , en lugar de en términos "extrínsecos" donde la superficie se describe por sus coordenadas en un espacio de dimensión superior--ver elSección "Intrínseco versus extrínseco" de la página wiki de geometría diferencial . Y todo esto tiene una relevancia práctica para los físicos, ya que la teoría de la relatividad general de Einstein utiliza la geometría diferencial para explicar la gravitación en términos de materia y energía, lo que hace que el espaciotiempo se curve (consulte aquí una breve introducción conceptual sobre cómo la curvatura del espaciotiempo puede explicar la forma en que las partículas trayectorias se ven afectadas por la gravedad).

Con estas ideas en mente, si quiere entender el comentario de Greene acerca de que las dimensiones más altas están "enroscadas", imagine la superficie de un cilindro o tubo largo, como una manguera de jardín. Esta superficie es bidimensional, pero solo tiene que viajar una corta distancia en una dirección para hacer un círculo y regresar a su lugar de origen, esa es la dimensión "acurrucada", mientras que la dirección perpendicular puede ser arbitrariamente larga. quizás infinito. Podrías imaginar seres bidimensionales que viven en esta superficie, como los del famoso libro Flatland que ha introducido a muchas personas en la idea de espacios con diferentes números de dimensiones (y también hay una "secuela" de otro autor titulada Spherelandque introduce la idea de que un universo 2D en realidad podría ser curvo). Pero si la circunferencia del cilindro fuera muy corta, incluso más corta que el radio de los átomos en este universo, entonces, a gran escala, este universo podría ser indistinguible de un universo unidimensional (como el "Lineland" que los personajes de Flatland hacer una visita a). Entonces, se plantea la hipótesis de una idea similar en la teoría de cuerdas para explicar el hecho de que solo experimentamos nuestro espacio como tridimensional, aunque las matemáticas de la teoría de cuerdas requieren más dimensiones espaciales: las dimensiones adicionales se "enroscan" en formas pequeñas conocidas como Colectores de Calabi-Yau, que juegan un papel análogo a las secciones transversales circulares del cilindro o tubo 2D que describí (aunque en la teoría de branas, una extensión de la teoría de cuerdas, es posible que una o más dimensiones adicionales sean "grandes" y no enrolladas, pero las partículas y las fuerzas, a excepción de la gravedad, están confinadas para moverse en una "brana" tridimensional asentada en este espacio de dimensión superior, que se denomina "bulto").

Es relativamente fácil imaginar la cuarta dimensión. Ese sería el momento. Pero el tiempo como si tuviéramos una máquina del tiempo con la que arbitrariamente pudiéramos movernos a través de él. Dimensiones superiores serían más difíciles pero posibles como si fueran "destinos". Por ejemplo imagina que en destino1 ves un auto yendo de A a B en una hora dada pero en destino alterno2 ves el mismo auto yendo de B a A. Y así sucesivamente. Ahora imagina esos destinos como si fueran libros en fila en un estante 1,2..., n. Ahora imagine el número de estantes (1...n) x (1...n) con destinos. O número de estantes en número de filas en una biblioteca de destinos en una tabla tridimensional (1,2...n) x (1,2...n) x (1,2...n). O una biblioteca tridimensional de destinos que cambia en el tiempo. Ahora, si puedes imaginar todo esto, acabas de imaginar 4 x 4 = 16 dimensiones.