Una pregunta trivial sobre la predicción de la tasa de llegada de un proceso de Poisson a partir de datos de muestra

Dejar$X_i \sim Pois(\lambda_1)$sea ​​el número de llegadas en una hora, en efecto, tenemos observaciones$X_1, X_2, \dots, X_{100}.$Porque$\bar X = 2$nuestra estimación puntual de la tasa de llegada por hora de Poisson es$\hat \lambda_1 = 2.$

No conocemos al individuo.$X_i$pero sabemos saber$T = \sum_{i=1}^{100} X_i = 200.$Como la suma de Poissons es nuevamente Poisson, sabemos que$T \sim Pois(\lambda_{100}),$dónde$\lambda_{100}$es la tasa de llegada por 100 horas.

Basado en la aproximación normal de la suma$T,$un razonable intervalo de confianza del 95% para$\lambda_{100}$es

$$T + 2 \pm 1.96\sqrt{T + 1}\; \text{or}\; 202 \pm 1.96\sqrt{201},$$ que da el intervalo $(174.2,\,229.8)$para $\lambda_{100}.$Simplemente divida por 100 para obtener el IC del 95 % $(1.742, 2,298)$para $\lambda_1.$

Una estimación de probabilidad bayesiana del 95 %, que utiliza una gamma previa "impropia" no informativa, se basa en la distribución posterior$Gamma(200, 100).$Cortando 2.5% de cada cola de la distribución posterior da el intervalo de probabilidad$(1.732, 2.287)$para$\lambda_1$, de acuerdo con el cálculo en R a continuación.

 qgamma(c(.025,.975), 200, 100)
 ## 1.732409 2.286527

El IC y el intervalo bayesiano son numéricamente muy similares. Ambos dan una buena idea de cuán precisa puede ser esta estimación, según las suposiciones de su Problema.

Estoy de acuerdo en que el modelo de Poisson puede no ser el mejor, en general, para modelar el comportamiento de llegada de un autobús. Pero su problema establece explícitamente que este modelo se aplica a$this$ruta del autobus.

Si$\lambda=2$, entonces en cualquier$100$período de una hora, el número esperado de llegadas es de hecho$200$.

Sin embargo, la observación de que había$200$llegadas en un$100$período de horas no garantiza que$\lambda=2$: se limita a proporcionar pruebas. Esto necesita ser probado.

Las predicciones basadas en una sola observación no son confiables.

Habiendo dicho esto, es algo discutible si las llegadas de autobuses podrían seguir una distribución de Poisson, ya que cualquier servicio de autobús no opera de forma totalmente aleatoria, sino que sigue un horario.