¿Cómo trato con un campo cuántico en el denominador?

Me gustaría darle una idea general sobre el procedimiento de integración de la clase de operadores, solo para tener una idea de cómo manejar estos objetos matemáticos (lo que está permitido y lo que no tiene sentido). Las relaciones clave, las que determinan completamente su operador, se resumen en (1) a continuación.

En general, si tiene una clase de operadores$\{A(s)\}_{s\in S}$, con$A(s) : D \to H$para algún dominio común$D \subset H$($H$siendo el espacio de Hilbert de la teoría), y con$S$dado por algún conjunto equipado con una medida positiva$\mu$, es posible definir un operador integrado:

$$\int_S A(s) d\mu(s)$$ con los siguientes pasos.

Suponiendo que, por cada$\phi\in D$, el mapa

$$S \ni s \mapsto ||A(s) \phi||$$ es $\mu$integrable y que para cada $\phi\in D$y $\psi \in H$, el mapa $$S \ni s \mapsto \langle \psi | A(s) \phi \rangle$$ es medible, entonces $$H \times D \ni (\psi,\phi) \mapsto Q(\psi, \phi):= \int_S \langle \psi | A(s) \phi \rangle d\mu(s)\:.$$ está bien definido, ya que $$|\langle \psi | A(s) \phi \rangle| \leq ||\psi|| ||A(s) \phi||\:$$ Simplemente se demuestra que $Q(\cdot, \cdot)$es lineal en la ranura de la derecha y es antilineal en la de la izquierda, además: $$|Q(\psi, \phi)|\leq C||\psi|| \:.$$ El teorema de Riesz implica fácilmente que, para cada $\phi\in D$hay un vector único, indicado por $$\int_S A(s) \phi d\mu(s)$$ tal que, si $\psi\in H$: $$Q(\psi, \phi) = \left\langle \psi |\int_S A(s) \phi d\mu(s) \right\rangle \:.$$ Por construcción, ya que $Q$es lineal a la derecha, se encuentra que $$D \ni \phi \mapsto \int_S A(s) \phi d\mu(s)$$ es lineal, también.

Resumiendo, bajo hipótesis bastante suaves, existe un único operador lineal, indicado por$\int_S A(s) d\mu(s)$y definido en$D$, tal que:

$$\left\langle \psi |\int_S A(s) d\mu(s) \phi \right\rangle = \left\langle \psi |\int_S A(s)\phi d\mu(s) \right\rangle = \int_S \langle \psi | A(s) \phi \rangle d\mu(s)\tag{1}$$ para cada $\phi \in D$y $\psi \in H$. A partir de estas identidades se pueden inducir algunas propiedades de $A(s)$a $\int_S A(s) d\mu(s)$. Por ejemplo, si el $A(s)$s son hermitianos, $\int_S A(s) d\mu(s)$es. Si $||A(s)|| <K <+\infty$para algunos $K$y todo $s\in S$, entonces $\int_S A(s) d\mu(s)$está acotado, etc.

En tu caso$s=\theta$, espero que todos los operadores involucrados dependan de$\theta$de alguna manera (el documento es bastante oscuro para mí en estos detalles), y debe usar (1) para definir el operador deseado: solo hay un operador que lo satisface. Obviamente$1/(T+T^\dagger)$tiene que ser entendido como$(T+T^\dagger)^{-1}$(operador inverso).