¿Cómo son exactamente las rotaciones de las transformaciones de Lorentz?

Question

¿Cómo son exactamente las rotaciones de las transformaciones de Lorentz?

ryder grosero

Siempre he visto en todas partes que las transformaciones de Lorentz son rotaciones en 4D. Sigamos con 2D (un eje de espacio, un eje de tiempo) por simplicidad.

Las rotaciones de los ejes espaciales bidimensionales se ven completamente diferentes de la transformación 2D de Lorentz. Para rotar los ejes espaciales, rotamos los ejes x e y en un ángulo de la misma magnitud con el mismo signo. Esto da como resultado que los ejes aún permanezcan a 90 grados después de la rotación.

Pero las transformaciones de Lorentz en 2D parecen rotar los ejes del espacio y el tiempo en un ángulo de la misma magnitud pero de signos opuestos. Los ejes no permanecen a 90 grados después de las transformaciones de Lorentz, sino que forman una forma de V. ¿Cómo es esto una rotación? ¿Estamos usando alguna definición generalizada de rotación? Además, ¿por qué no simplemente rotar los ejes del espacio y el tiempo en la misma dirección (para que permanezcan en 90 grados), como hacemos con dos ejes espaciales? (He leído que la razón por la que no tratamos el eje del tiempo como un eje espacial habitual es que no podemos retroceder en el tiempo. Si esta razón es correcta, explíquela. ¿Cómo rotar ambos x? y los ejes t en la misma dirección significan que estamos retrocediendo en el tiempo?)

EDITAR- https://www.mathpages.com/rr/s1-07/1-07.htm Estoy saliendo de este texto. Cerca del final del primer párrafo, dice que la razón por la que elegimos hacer la rotación del 'signo opuesto' es que no podemos retroceder en el tiempo.

david z

Eliminé una serie de comentarios que intentaban responder la pregunta y/o las respuestas a ellos. Tenga en cuenta que los comentarios deben usarse para sugerir mejoras y solicitar aclaraciones sobre la pregunta, no para responder.

Frobenius

Relacionado: ¿Cómo sumar rapidezes no paralelas? .

Respuestas (3)

¿Cómo son exactamente las rotaciones de las transformaciones de Lorentz?

Eliminé una serie de comentarios que intentaban responder la pregunta y/o las respuestas a ellos. Tenga en cuenta que los comentarios deben usarse para sugerir mejoras y solicitar aclaraciones sobre la pregunta, no para responder.

WillO · Answer 1

La noción generalizada relevante de "rotación" es que una rotación es una transformación que fija un punto y conserva todas las distancias. En el espacio euclidiano, esto significa que si tienes dos puntos con coordenadas x que difieren en $\Delta x$ y las coordenadas y fluctúan por $\Delta y$ , entonces el valor de $\Delta x^2+\Delta y^2$ no se ve afectado por una rotación. En el espacio de Minkowski significa que $\Delta x^2-\Delta t^2$ no se ve afectado

¿Qué nos motiva a usar el signo menos en la última fórmula (aparte de observar la velocidad constante de la luz)? ¿Es que si lo mantuviéramos positivo, implicaría que podemos retroceder en el tiempo?
Lo que motiva el signo menos es que queremos rotaciones para mantener constante la velocidad de la luz, como supusiste.
Hay alguna otra motivación también. mathpages.com/rr/s1-07/1-07.htm Este texto predice la Relatividad Especial solo usando matemáticas puras (sin depender de observar nada para moverse a la velocidad máxima). Use 'Buscar en la página: hacia atrás en el tiempo' en esa página.
@WillO Respuesta agradable y directa, pero creo que podría beneficiarse al enfatizar un poco más que la definición de "distancia" en este contexto puede variar de un tipo de rotación a otra, y que para la transformación de Lorentz, es una noción claramente diferente de "distancia" a la que estamos acostumbrados en la vida cotidiana.

Gary Godofredo · Answer 2

Un impulso de Lorentz no es una rotación por un ángulo real. En cambio. es una tensión por un ángulo real. La transformación del eje x,t donde ambos se mueven hacia adentro en un pequeño ángulo en radianes $d\lambda$ (llamado parámetro de impulso de Lorentz) es bien conocido por los ingenieros mecánicos en el plano x,y. El ingeniero distorsiona un cuadrado en el plano x,y de manera que ambos bordes del cuadrado se mueven hacia adentro un pequeño ángulo en radianes. $d\epsilon$ (llamado la tensión). El cuadrado se convierte en un paralelepípedo. Las matrices que hacen estas transformaciones para ángulos no infinitesimales son:

[\begin{matrix} C o s h (λ) & s i norte h (λ) \\ s i norte h (λ) & C o s h (λ) \end{matrix}] [\begin{matrix} X \\ C t \end{matrix}] a norte d [\begin{matrix} C o s h (ϵ) & s i norte h (ϵ) \\ s i norte h (ϵ) & C o s h (ϵ) \end{matrix}] [\begin{matrix} X \\ y \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} cosh(\lambda) & sinh(\lambda)\\ sinh(\lambda) & cosh(\lambda)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ ct\\ \end{bmatrix} \quad and \quad \begin{bmatrix} cosh(\epsilon) & sinh(\epsilon)\\ sinh(\epsilon) & cosh(\epsilon)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ \end{bmatrix}$ La razón por la que has escuchado que los impulsos son de alguna manera rotaciones es que los físicos de antaño hacían que los impulsos parecieran rotaciones familiares al usar ángulos imaginarios y hacer que t fuera imaginario.

[\begin{matrix} X^{'} \\ i C t^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C o s (i λ) & - s i norte (i λ) \\ s i norte (i λ) & C o s (i λ) \end{matrix}] [\begin{matrix} X \\ i C t \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} x'\\ ict'\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(i\lambda) & -sin(i\lambda)\\ sin(i\lambda) & cos(i\lambda)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ ict\\ \end{bmatrix}$

[\begin{matrix} X^{'} \\ i C t^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C o s h (λ) & - i s i norte h (λ) \\ i s i norte h (λ) & C o s h (λ) \end{matrix}] [\begin{matrix} X \\ i C t \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} x'\\ ict'\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cosh(\lambda) & -i\ sinh(\lambda)\\ i\ sinh(\lambda) & cosh(\lambda)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ ict\\ \end{bmatrix}$

[\begin{matrix} X^{'} \\ C t^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} C o s h (λ) & s i norte h (λ) \\ s i norte h (λ) & C o s h (λ) \end{matrix}] [\begin{matrix} X \\ C t \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} x'\\ ct'\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cosh(\lambda) & sinh(\lambda)\\ sinh(\lambda) & cosh(\lambda)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ ct\\ \end{bmatrix}$ Las tensiones del paralelepípedo espacio-espacial dejan

x^{2} - y^{2}

$x^2-y^2$ invariante. Las cepas del paralelepípedo del espacio-tiempo dejan

x^{2} - (c t)^{2}

$x^2-(ct)^2$ invariante. Licencia de rotaciones

x^{2} + (i c t)^{2}

$x^2+(ict)^2$ invariante. Por favor, vea mi respuesta a esta pregunta si desea más matemáticas.

No creo que "la razón por la que no tratamos el eje del tiempo como un eje espacial habitual es que no podemos retroceder en el tiempo" sea un buen argumento. Sin embargo, si $ct>x$ un impulso no puede hacer $ct'<x'$ porque $x^2-(ct)^2$ es invariante. Por lo tanto, si un evento es causal en el cono de luz frontal, también lo es en el cono de luz frontal en todos los fotogramas potenciados. Una rotación real de x y ct real podría girar $ct>x$ en $ct'<x'$ y arruinar la causalidad.

მამუკა ჯიბლაძე · Answer 3

Wikipedia tiene algunas animaciones agradables que muestran que las transformaciones de Lorentz son de hecho algún tipo de rotación, por ejemplo, esta

o esto

Se podría decir que hacen todo lo posible para parecer una rotación bajo la restricción de no cruzar el cono de luz.

¿Cómo son exactamente las rotaciones de las transformaciones de Lorentz?

ryder grosero

david z

Frobenius

Respuestas (3)

WillO

ryder grosero

WillO

ryder grosero

david z

Gary Godofredo

მამუკა ჯიბლაძე

¿Por qué es necesario que diferentes observadores estén de acuerdo en el valor del intervalo de espacio-tiempo ds2ds2ds^2?

Prueba de unicidad de transformación entre marcos relativistas

¿Qué tiene de incorrecto este razonamiento con respecto a la relatividad especial?

¿Qué es un evento en la Relatividad Especial?

Impulso puro de Lorentz; transponer ≠≠\neq inversa?

Cálculo del intervalo de espacio-tiempo - ¿Qué estoy haciendo mal?

Sobre la dependencia del tiempo en la transformación entre marcos de referencia en Relatividad especial

¿Es la Relatividad de la simultaneidad solo un defecto en la percepción? [duplicar]

¿Cómo derivar el intervalo de espacio-tiempo de la transformación de Lorentz?

¿Por qué esta transformación no lineal no es una transformación de Lorentz? Conserva x2+y2+z2−c2t2=x′2+y′2+z′2−c2t′2x2+y2+z2−c2t2=x′2+y′2+z′2−c2t′2x^2 + y^2 + z^2 - c^2t^2 = x'^2 + y'^2 + z'^2 - c^2t'^2