¿Cómo sumar rapidezes no paralelas?

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En la Figura-01 anterior, un sistema inercial$\:\mathrm S'\:$se traduce con respecto al sistema inercial$\:\mathrm S\:$con velocidad constante

$$\begin{align} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\mathbf{u}_1 \boldsymbol{=} \left(u_{1x},u_{1y},u_{1z}\right) & \boldsymbol{=}\left(u_1 n_{1x},u_1 n_{1y},u_1 n_{1z}\right) \boldsymbol{=} u_1 \mathbf{n}_1\,, \qquad u_1 \in \left(-c,0\right)\cup\left(0,c\right) \tag{01a}\label{01a}\\ \Vert \mathbf{n}_1 \Vert^2 & \boldsymbol{=} n^2_{1x}\boldsymbol{+}n^2_{1y} \boldsymbol{+} n^2_{1z} \boldsymbol{=}1 \tag{01b}\label{01b} \end{align}$$ La transformación de Lorentz$\:\mathrm S \longrightarrow \mathrm S'\:$es
$$\begin{align} \mathrm d\mathbf{r'} & \boldsymbol{=} \mathrm d\mathbf{r}\boldsymbol{+}(\gamma_1\boldsymbol{-}1)(\mathbf{n}_1\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{r})\mathbf{n}_1\boldsymbol{-}\gamma_1 \mathbf{u}_1\mathrm d t \tag{02a}\label{02a}\\ \mathrm d t' & \boldsymbol{=} \gamma_1\left(\mathrm d t\boldsymbol{-}\dfrac{\mathbf{u}_1\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{r}}{c^{2}}\right) \tag{02b}\label{02b}\\ \gamma_1 & \boldsymbol{=} \left(1\boldsymbol{-}\dfrac{u^2_1}{c^2}\right)^{\boldsymbol{-}\frac12} \tag{02c}\label{02c} \end{align}$$ mientras que es inversa$\:\mathrm S' \boldsymbol{\longrightarrow} \mathrm S\:$es $$\begin{align} \mathrm d\mathbf{r} & \boldsymbol{=} \mathrm d\mathbf{r'}\boldsymbol{+}(\gamma_1\boldsymbol{-}1)(\mathbf{n}_1\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{r'})\mathbf{n}_1\boldsymbol{+}\gamma_1 \mathbf{u}_1\mathrm d t' \tag{03a}\label{03a}\\ \mathrm d t & \boldsymbol{=} \gamma_1\left(\mathrm d t'\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{u}_1\boldsymbol{\cdot} \mathrm d\mathbf{r'}}{c^{2}}\right) \tag{03b}\label{03b} \end{align}$$

Ahora, deja que una partícula puntual$\:\mathrm P\:$moviéndose con velocidad$\:\mathbf{u}_2\:$con respecto al sistema$\:\mathrm S'\:$dónde

$$\begin{align} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\mathbf{u}_2 \boldsymbol{=}\dfrac{\mathrm d\mathbf{r'}}{\mathrm d t'} \boldsymbol{=}\left(u_{2x'},u_{2y'},u_{2z'}\right) & \boldsymbol{=} \left(u_2 n_{2x'},u_2 n_{2y'},u_2 n_{1z'}\right) \boldsymbol{=} u_2 \mathbf{n}_2\,, \quad u_2 \in \left(-c,c\right) \tag{04a}\label{04a}\\ \Vert \mathbf{n}_2 \Vert^2 & = n^2_{2x'}+n^2_{2y'} + n^2_{2z'} = 1 \tag{04b}\label{04b}\\ \gamma_2 & \boldsymbol{=} \left(1\boldsymbol{-}\dfrac{u^2_2}{c^2}\right)^{\boldsymbol{-}\frac12} \tag{04c}\label{04c} \end{align}$$ Para encontrar su velocidad$\:\mathbf{u}\:$con respecto al sistema$\:\mathrm S\:$dónde $$\begin{align} \mathbf{u} \boldsymbol{=}\dfrac{\mathrm d\mathbf{r}}{\mathrm d t} \boldsymbol{=}\left(u_{x},u_{y},u_{z}\right) & \boldsymbol{=} \left(u n_{x},u n_{y},u n_{z}\right) \boldsymbol{=} u \mathbf{n}\,, \qquad u \in \left(-c,c\right) \tag{05a}\label{05a}\\ \Vert \mathbf{n} \Vert^2 & = n^2_{x}+n^2_{y} + n^2_{z} = 1 \tag{05b}\label{05b}\\ \gamma & \boldsymbol{=} \left(1\boldsymbol{-}\dfrac{u^2}{c^2}\right)^{\boldsymbol{-}\frac12} \tag{05c}\label{05c} \end{align}$$ dividimos ecuaciones $\eqref{03a}$, $\eqref{03b}$uno al lado del otro y tener $$\begin{equation} \mathbf{u} \boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{u}_2\boldsymbol{+}(\gamma_1\boldsymbol{-}1)(\mathbf{n}_1\boldsymbol{\cdot} \mathbf{u}_2)\mathbf{n}_1\boldsymbol{+}\gamma_1 \mathbf{u}_1}{ \gamma_1\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{u}_1\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}_2}{c^{2}}\right)} \tag{06}\label{06} \end{equation}$$ reemplazando$\:\mathbf{n}_1\boldsymbol{\longrightarrow} \mathbf{u}_1/u_1\:$ $$\begin{equation} \boxed{\:\:\mathbf{u} \boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{u}_2\boldsymbol{+}\dfrac{\gamma^2_{1}\left(\mathbf{u}_1\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}_2\right)}{c^2 \left(\gamma_{1}\boldsymbol{+}1\right)}\mathbf{u}_1\boldsymbol{+}\gamma_1 \mathbf{u}_1}{ \gamma_1\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{u}_1\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}_2}{c^{2}}\right)}\:\:} \tag{07}\label{07} \end{equation}$$ La ecuación anterior, más allá de ser la ley de transformación para 3 velocidades, es la ley de la suma relativista de 3 velocidades, más exactamente es la suma relativista de$\:\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2$.

Ahora bien, entre el$\gamma-$factores$\gamma,\gamma_{1},\gamma_{2}\:$la siguiente ecuacion es valida

$$\begin{equation} \boxed{\:\: \gamma \boldsymbol{=}\gamma_{1}\gamma_{2}\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{u}_1\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}_2}{c^2}\right)\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}}\:\:} \tag{08}\label{08} \end{equation}$$ Esta relación se demuestra de la siguiente manera:

Dejar$\:\mathrm S^{\mathrm P}\:$el resto del sistema de la partícula$\:\mathrm P$. en este sistema$\:\mathrm S^{\mathrm P}\:$el tiempo es el adecuado$\:\tau$. El sistema de descanso$\:\mathrm S^{\mathrm P}\:$se mueve con velocidad$\:\mathbf{u}_2\:$con respecto al sistema$\:\mathrm S'\:$por lo que según la transformación de Lorentz entre estos sistemas tenemos

$$\begin{equation} \dfrac{\mathrm dt'}{\mathrm d\tau}\boldsymbol{=}\gamma_2 \tag{09}\label{09} \end{equation}$$ En el mismo paso, ya que el sistema de descanso$\:\mathrm S^{\mathrm P}\:$se mueve con velocidad$\:\mathbf u\:$con respecto al sistema$\:\mathrm S\:$tenemos $$\begin{equation} \dfrac{\mathrm dt\hphantom{'}}{\mathrm d\tau}\boldsymbol{=}\gamma \tag{10}\label{10} \end{equation}$$ Por otra parte de la transformación de Lorentz entre los sistemas$\:\mathrm S\:$y$\:\mathrm S'\:$tenemos, mira $\eqref{03b}$ $$\begin{equation} \dfrac{\mathrm dt\hphantom{'}}{\mathrm dt'}\boldsymbol{=}\gamma_{1}\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{u}_1\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}_2}{c^2}\right) \tag{11}\label{11} \end{equation}$$ De ecuaciones $\eqref{09}$, $\eqref{10}$y $\eqref{11}$la relación $\eqref{08}$está probado, es decir $$\begin{equation} \gamma\boldsymbol{=}\dfrac{\mathrm dt\hphantom{'}}{\mathrm d\tau}\boldsymbol{=}\dfrac{\mathrm dt\hphantom{'}}{\mathrm dt'}\dfrac{\mathrm dt'}{\mathrm d\tau}\boldsymbol{=}\gamma_{1}\gamma_{2}\left(1\boldsymbol{+}\dfrac{\mathbf{u}_1\boldsymbol{\cdot}\mathbf{u}_2}{c^2}\right) \tag{12}\label{12} \end{equation}$$ En cuanto a la rapidez$\:\zeta_1,\zeta_2,\zeta\:$dónde $$\begin{equation} \tanh\zeta_1\boldsymbol{=}\dfrac{u_1}{c}\,,\quad \tanh\zeta_2\boldsymbol{=}\dfrac{u_2}{c}\,,\quad\tanh\zeta\boldsymbol{=}\dfrac{u}{c} \tag{13}\label{13} \end{equation}$$ ecuación $\eqref{08}$se reescribe como $$\begin{equation} \boxed{\:\:\cosh\zeta\boldsymbol{=}\cosh\zeta_1\cosh\zeta_2\boldsymbol{+}\underbrace{\left(\mathbf{n}_1\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}_2\right)}_{\cos\omega}\sinh\zeta_1\sinh\zeta_2\vphantom{\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{a}{b}}}\:\:} \tag{14}\label{14} \end{equation}$$ dónde$\:\omega \in [0,\pi]\:$el ángulo entre los vectores unitarios$\:\mathbf{n}_1\:$y$\:\mathbf{n}_2$, consulte la Figura-01.

En caso de paralelo$\:\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2\:$tenemos

$$\begin{equation} \zeta\boldsymbol{=} \left. \begin{cases} \zeta_1\boldsymbol{+}\zeta_2 & \text{if}\:\:\: \omega=0\\ \zeta_1\boldsymbol{-}\zeta_2 & \text{if}\:\:\: \omega=\pi \end{cases}\right\} \tag{15}\label{15} \end{equation}$$

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!$

Ahora, haremos una correlación con la composición de dos rotaciones en el espacio.

Como veremos a continuación (Figura-04), la Figura-02 se utiliza para la representación geométrica (construcción) de la composición de dos rotaciones en el espacio. En esta figura dos planos$\:\rm p_1, p_2\:$en un angulo$\:\omega\:$intersección en línea$\:\epsilon$. Dos lineas$\:\epsilon_1,\epsilon_2\:$en aviones$\:\rm p_1, p_2\:$respectivamente están pasando por un punto común en la línea$\:\epsilon\:$en ángulos$\:\phi_1,\phi_2\:$con respecto a esta línea. Por trigonometría elemental tenemos

$$\begin{equation} \cos\phi \boldsymbol{=} \cos\phi_1 \cos\phi_2\boldsymbol{-}\cos\omega \sin\phi_1 \sin\phi_2 \tag{16}\label{16} \end{equation}$$ Si en la ecuación anterior reemplazamos los ángulos reales$\:\phi_1,\phi_2,\phi\:$con unos imaginarios $$\begin{equation} \phi_1\boldsymbol{=}\mathrm{i}\,\zeta_1\,,\quad \phi_2\boldsymbol{=}\mathrm{i}\,\zeta_2\,,\quad \phi\boldsymbol{=}\mathrm{i}\,\zeta \tag{17}\label{17} \end{equation}$$ eso es $$\begin{equation} \cos\left(\mathrm{i}\,\zeta\right) \boldsymbol{=} \cos\left(\mathrm{i}\,\zeta_1\right) \cos\left(\mathrm{i}\,\zeta_2\right)\boldsymbol{-}\cos\omega \sin\left(\mathrm{i}\,\zeta_1\right) \sin\left(\mathrm{i}\,\zeta_2\right) \tag{18}\label{18} \end{equation}$$ entonces encontraremos la ecuación $\eqref{14}$de nuevo $$\begin{equation} \cosh\zeta\boldsymbol{=}\cosh\zeta_1\cosh\zeta_2\boldsymbol{+}\cos\omega\sinh\zeta_1\sinh\zeta_2 \tag{19}\label{19} \end{equation}$$ desde $$\begin{equation} \cos\left(\mathrm{i}\,\rho\right)\boldsymbol{=}\cosh\rho\,,\quad \sin\left(\mathrm{i}\,\rho\right)\boldsymbol{=}\mathrm{i}\,\sinh\rho \qquad \rho \in \mathbb{R} \tag{20}\label{20} \end{equation}$$ y formalmente tenemos la Figura-03.

Los ángulos funcionan muy bien en dos dimensiones (el plano euclidiano o el espacio-tiempo 1+1), donde solo necesitas uno. En tres o más dimensiones, hay singularidades en la representación de dirección o rotación/orientación por ángulos, y otras representaciones son más elegantes.

Además, en 3 o más dimensiones, el espacio de direcciones (velocidades) y el espacio de rotaciones (transformaciones de Lorentz) son diferentes. Ya no puedes combinarlos. Esto significa que no existe un análogo de "adición de rapidez" en dimensiones superiores. En cambio, debe aplicar una rotación (transformación de Lorentz) a una dirección (velocidad), o bien componer dos rotaciones, y estas son operaciones diferentes.

La forma más elegante de representar una dirección es mediante un vector unitario que apunte en esa dirección. En el espacio-tiempo, esta es la de cuatro velocidades . No es exactamente análogo a la rapidez pero es la generalización la que te dará menos dolores de cabeza. En términos de cuatro velocidades$\mathbf v$tienes

• Factor de Lorentz:$\mathbf v \cdot \mathbf{\hat t}$
• Coordenada de velocidad:$\mathbf v / (\mathbf v \cdot \mathbf{\hat t}) - \mathbf{\hat t}$
• Velocidad adecuada:$\mathbf v - (\mathbf v \cdot \mathbf{\hat t}) \mathbf{\hat t}$
• Energía total y cantidad de movimiento:$m\mathbf v$
• Aceleración adecuada:$\mathrm d\mathbf v/\mathrm dτ$

En el espacio euclidiano 3D, la forma más elegante de representar una rotación o una orientación es mediante un cuaternión unitario . La generalización de esto a una dimensión y una firma arbitrarias se denomina álgebra par de Clifford del espacio. Al multiplicar elementos del álgebra de Clifford, puedes ver por qué los vectores son inadecuados para este propósito. Por ejemplo, la composición de los refuerzos en el$\mathbf v$y$\mathbf u$direcciones es

$$(A + B \mathbf{\hat t u})(C + D \mathbf{\hat t v}) = AC + \mathbf{\hat t}(BC\mathbf u + AD\mathbf v) - BD\mathbf{uv}$$ dónde$A,B,C,D$son escalares que estoy omitiendo por brevedad. Si$\mathbf u {\parallel} \mathbf v$entonces$\mathbf{uv}$es un escalar y esto es equivalente a un impulso en la misma dirección. De lo contrario, no es un impulso, porque hay una rotación adicional en el$\mathbf{uv}$avión.