¿Cómo se replican las leyes de Newton a mayor escala?

Es una consecuencia de la segunda y tercera leyes de Newton y la superposición de fuerzas. La segunda ley de Newton asume implícitamente la superposición de fuerzas. De lo contrario, el segundo de Newton es solo una definición de fuerza neta. Que la fuerza neta que actúa sobre una partícula es la suma de las fuerzas individuales que actúan sobre esa partícula es un corolario de los Principios de Newton . Varios profesores de física la tratan explícitamente como una cuarta ley del movimiento; otros lo hacen implícitamente enseñando sobre vectores antes de discutir las leyes del movimiento de Newton.

¿Qué pasa con un sistema de partículas? el centro de masa$X$de un sistema de partículas se define como

$$M \boldsymbol X = \sum_i m_i \boldsymbol x_i$$ dónde $M = \sum_i m_i$, $m_i$y $\boldsymbol x_i$son la masa y la posición de la partícula $i$, y las sumas son sobre todas las partículas individuales que componen el sistema.

Asumiendo que el número de partículas y que la masa de cada partícula permanece constante en el tiempo permite diferenciar dos veces con respecto al tiempo:

$$M \ddot{\boldsymbol X} = \sum_i m_i \ddot{\boldsymbol x}_i$$ La segunda ley de Newton permite reescribir el lado derecho como la fuerza neta que actúa sobre el $i^{th}$partícula: $$M \ddot{\boldsymbol X} = \sum_i \ddot{\boldsymbol F}_{\text{net},i}$$ dónde $F_{\text{net},i}$es la fuerza neta que actúa sobre el $i^{th}$partícula. La superposición de fuerzas significa que esta fuerza individual neta se puede resolver como una suma de fuerzas externas e internas: $$F_{\text{net},i} = F_{\text{ext},i} + \sum_{j\ne i} F_{j,i}$$ dónde $F_{\text{ext},i}$es la suma de las fuerzas externas que actúan sobre la partícula $i$(fuerzas atribuibles al entorno externo en oposición a las interacciones entre las partículas que componen el sistema). Esas interacciones entre partículas son capturadas por el $F_{j,i}$fuerzas internas. De este modo $$M \ddot{\boldsymbol X} = \sum_i \boldsymbol F_{\text{ext},i} + \sum_i \sum_{j\ne i} \boldsymbol F_{j,i}$$ Aquí es donde entra en juego la tercera ley de Newton, que dice que $\boldsymbol F_{i,j} = -\boldsymbol F_{j,i}$. Esto significa que la segunda suma a la derecha ( $\sum_i \sum_{j\ne i} F_{j,i}$) es idénticamente cero, dejando solo $$M \ddot{\boldsymbol X} = \sum_i \boldsymbol F_{\text{ext},i} \equiv \boldsymbol F_\text{ext,tot}$$

No sé qué tenía Faynman en su pensamiento, pero definitivamente la relación entre las partes del sistema y el centro de la masa es causada por:

1. Aditividad de fuerzas.
2. Relación lineal entre fuerza, masa y aceleración.

La linealidad significa que la masa y la fuerza dependen linealmente una de la otra. Como tal, la suma de las masas te da la masa total, y la suma de las fuerzas te da la fuerza total, y siguen siendo proporcionales (cuando el cuerpo es rígido).

Para analizar más el ejemplo de la pelota de béisbol, lo que te interesa durante un juego es el movimiento promedio de todas las partículas que lo componen. Cada partícula individual puede moverse aleatoriamente dentro de la pelota a velocidades muy altas, pero no puede verlas directamente ni es relevante para el movimiento general de la pelota a escala humana.

Ahora suponga que cada partícula individual que compone la pelota de béisbol obedece la ley de Newton. El teorema establece entonces que al considerar la pelota entera, el centro de masa también obedece la ley de Newton, con una masa que es la masa de la pelota entera, y una fuerza que es la fuerza total que actúa sobre la pelota, es decir la suma de todas las fuerzas. actuando sobre cada partícula.

Aquí está el punto crucial. Desde la distancia no podrás resolver la bola y todo lo que ves es una esfera moviéndose. Dado que razonablemente todas las partículas permanecerán uniformemente en esta esfera, su punto central también será geométricamente el centro de masa. Pero el centro de masa se moverá según la ley de Newton y, si la esfera no se deforma ni se desgarra, también lo hará su punto central, ¡ya que coinciden! Así que la pelota de béisbol en su conjunto, por su rigidez, se moverá según la ley de Newton .

Por supuesto, el teorema siempre es cierto, pero puede que no siempre sea interesante o perspicaz. Por ejemplo, tome dos pelotas que no interactúan en reposo y patee una para que comience a moverse. El movimiento del centro de masa es predecible, pero en realidad no describe nada sobre el "sistema" como un todo y, lo que es más importante, no es directamente observable. Es solo una propiedad de las dos bolas combinadas.

Como un ejemplo menos mundano, lo que puedes inferir es que, suponiendo que todo lo que compone la Tierra obedece la segunda ley, la Tierra misma es un cuerpo rígido que obedece la segunda ley. Y si cada pedacito de materia del sistema solar obedece a esta ley, puedes estudiar y predecir el movimiento de los planetas si conoces la fuerza que cada uno ejerce sobre los demás.

Lo que no se puede inferir es que, dado que toda la materia ordinaria parece obedecer la ley de Newton, entonces también los átomos o las partículas subatómicas obedecen a la misma ley. El teorema es válido en una sola dirección.