¿Cómo se relacionan las álgebras de Clifford con la ecuación de Dirac?

El espacio vectorial es el espacio-tiempo de Minkowski.

La forma cuadrática es el intervalo de espacio-tiempo.

La relación con la ecuación de Dirac es que cuando comienzas con el espacio-tiempo de Minkowski, el vector representa el subespacio lineal 1d, el producto antisimétrico de vectores linealmente independientes representa el lapso de los subespacios lineales 1d correspondientes.

En particular: dos vectores ortogonales se multiplican para darte el plano que abarcan. Tres vectores ortogonales entre sí se multiplican para darte el volumen 3 que abarcan, y cuatro vectores ortogonales entre sí se multiplican para dar un volumen 4 orientado.

Así que el álgebra de Clifford te da los objetos. Pero el álgebra de Grassmann también hace eso.

Pero el álgebra de Clifford también da las operaciones. Entonces, por ejemplo, una rotación viene dada por el producto de dos vectores espaciales y un impulso viene dado por el producto de dos vectores temporales que apuntan hacia el futuro.

Esto le permite representar objetos particulares como versiones rotadas de objetos de referencia estándar. Por ejemplo, una partícula de espín 1/2 tiene un plano de espín que se puede describir como una versión rotada y potenciada del plano XY.

Entonces, los términos en la ecuación de Dirac se pueden leer tomando el plano XY y realzándolo y girándolo y dándole un cambio de fase y una escala estadística.

No tienes que hacer esto. Siempre que pueda calcular las tasas relativas de los distintos resultados experimentales, está bien.

Pero cuando tienes un álgebra de Clifford, tienes todos estos objetos y operaciones, por lo que también puedes leer la ecuación como una lista de los operadores que actúan sobre un objeto.

Ya que solicitó referencias, aquí hay una fuente que trata directamente sobre la ecuación de Dirac y este enlace está en la parte inferior (etiquetado como "Inicio") que puede llevarlo a otras páginas que describen cómo usar el álgebra de Clifford para describir operaciones y objetos geométricos.

Si en cambio te interesa la historia. Clifford murió joven (Rod Vance señaló un error en mi edición original, a quien se le atribuye el mérito de detectar mi error), los matemáticos sobrevivientes decidieron que cada álgebra de Clifford tiene una representación mediante un álgebra matricial y, por lo tanto, no eran importantes. Y luego, más tarde, Dirac buscó un álgebra matricial para factorizar una ecuación diferencial de segundo orden y no sabía nada sobre el trabajo de Clifford, pero el álgebra más pequeña que funcionó para Dirac resultó ser una de las álgebras de Clifford, específicamente la que tiene el espacio vectorial y la forma cuadrática en la lista. arriba.