Derivación de la identidad de Gordon a partir de Srednicki [cerrado]

Dejar$\gamma^\mu$ser una matriz gamma, es decir,

$$\frac{1}{2}(\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu)=-\eta^{\mu\nu} \tag{1}$$

Dejar

$$S^{\mu\nu}\equiv\frac{i}{4}(\gamma^\mu\gamma^\nu-\gamma^\nu\gamma^\mu) \tag{2}$$

Escribamos

$$\gamma^\mu\gamma^\nu=\frac{1}{2}(\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\mu\gamma^\nu) \tag{3}$$ (tenga en cuenta que no hice nada todavía)

A continuación, escribe

$$0=\frac{1}{2}(\gamma^\nu\gamma^\mu-\gamma^\nu\gamma^\mu) \tag{4}$$ y añádelo a $(3)$: $$\gamma^\mu\gamma^\nu=\frac{1}{2}(\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\mu\gamma^\nu)+\frac{1}{2}(\gamma^\nu\gamma^\mu-\gamma^\nu\gamma^\mu)=\frac{1}{2}(\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu)+\frac{1}{2}(\gamma^\mu\gamma^\nu-\gamma^\nu\gamma^\mu) \tag{5}$$ donde acabo de reorganizar los términos.

Finalmente, enchufe$(1)$y$(2)$en$(5)$:

$$\gamma^\mu\gamma^\nu=-\eta^{\mu\nu}-2iS^{\mu\nu} \tag{6}$$

Esto es todo lo que necesitamos para probar la relación dada por Srednicki:

$$\gamma^\mu\not p\equiv p_\nu\gamma^\mu\gamma^\nu=p_\nu(-\eta^{\mu\nu}-2iS^{\mu\nu})=-p^\mu-2iS^{\mu\nu}p_\nu \tag{7}$$

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Tenga en cuenta que esto se puede generalizar ligeramente: deje$a^\mu,b^\mu$ser dos objetos cualquiera (vector, matrices, operadores, etc.)

Con este

$$a^\mu b^\nu=\frac{1}{2}\{a^\mu,b^\nu\}+\frac{1}{2}[a^\mu,b^\nu] \tag{8}$$ como se puede verificar fácilmente expandiendo los conmutadores. En este caso, $a^\mu=b^\mu=\gamma^\mu$, de modo que $(6)$sigue después de darse cuenta de que $\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=-2\eta^{\mu\nu}$ por definición de las matrices gamma, y $[\gamma^\mu,\gamma^\nu]=-4iS^{\mu\nu}$ por definición de $S^{\mu\nu}$.