¿Cómo se relaciona el potencial de Coulomb con el propagador?

Con base en esta pregunta y en las respuestas, vemos cómo la amplitud del nivel del árbol nos permite relacionar el propagador de fotones desnudo con el potencial de Coulomb utilizando básicamente solo la aproximación de Born y el límite no relativista.

Quería expandir eso un poco para hacer lo mismo con el propagador vestido, para poder expandirlo orden por orden y obtener correcciones al potencial de Coulomb.

Para el caso, he considerado el proceso del canal t$e^{-}(p_1)e^{-}(p_2)\to e^{-}(p_3)e^{-}(p_4)$pero en lugar del propagador desnudo, he usado el propagador vestido.

Aplicando las reglas de Feynman la amplitud que obtengo es:

$$i\mathcal{M}=(-ie)\overline{u}(p_3)\gamma^{\mu}u(p_1)G_{\mu\nu}(p_1-p_3)(-ie)\overline{u}(p_4)\gamma^\nu u(p_4).$$

Ahora uso el límite no relativista. Desde que tenemos

$$u(p)=\begin{pmatrix}\sqrt{p\cdot \sigma}\xi \\\sqrt{p\cdot\overline{\sigma}\xi}\end{pmatrix}$$

si$m >> |\mathbf{p}|$tenemos$p^0=\sqrt{m^2+|\mathbf{p}|^2}\approx m$y$p\cdot\sigma=p^0+\mathbf{p}\cdot\vec{\sigma}\approx m$. Con esto consigo

$$u(p)=\sqrt{m}\begin{pmatrix}\xi \\ \xi\end{pmatrix},\quad \overline{u}(p')=\sqrt{m}\begin{pmatrix}\xi \\ \xi \end{pmatrix}^\dagger\gamma^0$$

así tenemos

$$i\mathcal{M}=(-ie)^2 m^2\begin{pmatrix}\xi_{s'} \\ \xi_{s'} \end{pmatrix}^\dagger\gamma ^0 \gamma^\mu\begin{pmatrix}\xi_s \\ \xi_s \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\xi_{\sigma'} \\ \xi_{\sigma'} \end{pmatrix}^\dagger \gamma^0 \gamma^\nu \begin{pmatrix}\xi_\sigma \\ \xi_\sigma \end{pmatrix}G_{\mu\nu}(p_1-p_3)$$

Ahora he leído que la relación es con$G_{00}$así que todo lo demás debe desaparecer. Simplemente no veo cómo sucede eso. Yo si veo que si me olvido de todo y me voy solo$G_00$el resultado se vuelve muy simple

$$i\mathcal{M}=-e^2m^2 \delta_{ss'}\delta_{\sigma\sigma'} G_{00}(p_1-p_3)$$

pero no estoy seguro ya que no sé cómo justificar dejar todo. En relación con la aproximación de Born, esto es como se hace en la otra pregunta.

Entonces, ¿cómo es la forma correcta de obtener$\mathcal{M}$en el límite no relativista para comparar con la aproximación de Born y relacionar$V$a$G$? ¿He hecho algo malo? ¿Necesitamos usar la expresión resumida en términos de la suma irreducible de una partícula?