¿Derivar la ecuación de la fuerza de Coulomb a partir de la idea del intercambio de fotones?

El potencial de Coulomb clásico se puede recuperar en el límite no relativista del diagrama de Feynman a nivel de árbol entre dos partículas cargadas.

Aplicando la aproximación de Born a la dispersión QM, encontramos que la amplitud de dispersión para un proceso con potencial de interacción$V(x)$es

$$\mathcal{A}(\lvert p \rangle \to \lvert p'\rangle) - 1 = 2\pi \delta(E_p - E_{p'})(-\mathrm{i})\int V(\vec r)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\vec p - \vec p')\vec r}\mathrm{d}^3r$$

Esto debe compararse con la amplitud obtenida del diagrama de Feynman:

$$\int \mathrm{e}^{\mathrm{i}k r_0}\langle p',k \rvert S \lvert p,k \rangle \frac{\mathrm{d}^3k}{(2\pi)^3}$$

donde observamos la entrada de la matriz S (conectada) para dos electrones que se dispersan entre sí, tratando uno con un impulso "fijo" como la fuente del potencial y el otro dispersándose de ese potencial. Usando las reglas de Feynman para calcular el elemento de la matriz S, obtenemos en el límite no relativista con$m_0 \gg \lvert \vec p \rvert$

$$\langle p',k \rvert S \lvert p,k \rangle \rvert_{conn} = -\mathrm{i}\frac{e^2}{\lvert \vec p -\vec p'\rvert^2 - \mathrm{i}\epsilon}(2m)^2\delta(E_{p,k} - E_{p',k})(2\pi)^4\delta(\vec p - \vec p')$$

Comparando con la dispersión QM, tenemos que descartar la$(2m)^2$a medida que surgen debido a las diferentes normalizaciones del estado propio del impulso en QFT en comparación con QM y obtener:

$$\int V(\vec r)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\vec p - \vec p')\vec r}\mathrm{d}^3r = \frac{e^2}{\lvert \vec p -\vec p'\rvert^2 - \mathrm{i}\epsilon}$$

donde Fourier transformando ambos lados, resolviendo la integral y tomando$\epsilon \to 0$al final cederá

$$V(r) = \frac{e^2}{4\pi r}$$

como el potencial de Coulomb.

Existe la relación (no genética) entre la energía libre de interacción de dos corrientes$J^{a}, J^{b}$y el propagador:

$$U = -\frac{1}{2} \int d^{4}xd^{4}y J^{a}(x) D_{ab}(x - y)J^{b}(y).$$ No es general, pero se da cuenta del ejemplo simple que puede ayudarlo a comprender cómo obtener la expresión de fuerza.

La estructura del campo que causa la estructura del propagador nos ayuda a obtener la expresión de la fuerza. Por ejemplo, para la interconexión a través de un campo escalar (estableciendo$D_{ab}(x - y) = \frac{1}{p^{2} - m^{2}}$) después de transformaciones simples para corrientes "puntuales"$J(x) = \delta (\mathbf x - \mathbf x_{0})$podemos obtener

$$U = -\frac{1}{4 \pi |\mathbf r|}e^{-mr}.$$ En caso $m = 0$obtenemos la ley de interacción similar a la de Coulomb.

Absolutamente lo mismo que puede hacer con el caso del campo EM (en calibre Feynman$D_{\mu \nu} = -\frac{g_{\mu \nu}}{p^{2}}$).

Si necesita alguna derivación explícita, se la daré más tarde.