¿Cómo se muestra usando QED que las cargas eléctricas iguales/opuestas se repelen/atraen entre sí, respectivamente?

Una respuesta corta es que para estimar la energía de interacción (que dice si las mismas cargas se atraen o repelen), usa propagadores. Los propagadores provienen de la expresión de Lagrangianos. Finalmente, la parte derivada del tiempo para los grados de libertad dinámica en la acción debe ser positiva, y esto tiene una consecuencia sobre el signo del Lagrangiano.

Elige una métrica$(1,-1,-1,-1)$

Por ejemplo, para el campo escalar (spin-0), tenemos ($i=1,2,3$representando la coordenada espacial) el :

$$S = \int d^4x ~(\partial_0 \Phi\partial^0 \Phi+\partial_i \Phi\partial^i \Phi)$$

Aquí, la parte derivada del tiempo de la acción es positiva (porque$g_{00}=1$), por lo que todo está bien. Cuando calculamos la interacción de energía para partículas que interactúan a través de un campo de espín 0, se encuentra que las mismas cargas se atraen entre sí.

Ahora, tome un Lagrangiano de giro 1 (electromagnetismo):

$$S \sim \int d^4x ~(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu) (\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu)$$

Los grados de libertad dinámicos son (algunos de) los componentes espaciales$A_i$, por lo que la derivada temporal de los grados de libertad dinámicos es:

$$S \sim \int d^4x ~\partial_0 A_i \partial^0 A^i$$

Ahora, hay un problema, porque esto es negativo (porque$g_{ii} = -1$), por lo que para tener la acción correcta, debe agregar un signo menos:

$$S \sim -\int d^4x ~ (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu) (\partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu)$$

Este signo tiene una consecuencia directa sobre los propagadores y tiene una consecuencia directa sobre la energía de interacción, que se calcula a partir de los propagadores.

Esto explica que mientras las mismas cargas interactúan a través de un campo de espín 0 (o espín 2) se atraen, mientras que las mismas cargas interactúan a través de un campo de espín 1 se repelen.

Ver Zee (Teoría cuántica de campos en pocas palabras), Capítulo 1.5, para una discusión completa.

El título y el contenido preguntan dos cosas diferentes:

Contenido:

¿Por qué la misma carga se repele y la carga opuesta se atrae (explique el fenómeno usando las leyes reales de la naturaleza, no con el modelo de aproximación)?

La única respuesta es: Porque.

Es un hecho de observación recopilado durante siglos que nos hizo separar la electricidad en cargas, como las que se repelen entre sí, a diferencia de las que se atraen. Es un hecho experimental organizado en esta dualidad.

La física se trata de modelos matemáticos que se utilizan para ajustar los datos existentes y predecir fenómenos futuros.

El título pregunta:

Explicación del electromagnetismo utilizando la teoría cuántica de campos

es decir, está pidiendo un modelo matemático específico. Desafortunadamente, aunque QFT se puede usar para predecir el comportamiento de las partículas elementales cargadas, no puede explicar por qué hay cargas positivas y negativas y cargas similares que se repelen y diferentes que se atraen. Todavía es un hecho experimental introducido en los postulados de la teoría.