Interacción instantánea de Coulomb en QED

Me parece que hay un error tipográfico en el libro. Su ecuación inicial debe ser la siguiente:

$$\begin{equation} T_{fi} = -i\int \frac{d\omega \,d^{3}\textbf{q}}{(2\pi)^{4}} \tilde{A}(\textbf{q},\omega)\tilde{B}(-\textbf{q},-\omega) \frac{1}{|\textbf{q}|^{2}}, \end{equation}$$ dónde $\tilde{A}$denota la transformada de Fourier de $A$. Entonces, usando $$\begin{equation} \tilde{f}(\textbf{q},\omega) = \int dt\, d^{3}\textbf{x} \,f(\textbf{x},t)\, e^{-i(\textbf{q}\cdot \textbf{x}-\omega t)} \end{equation}$$ conducirá al resultado deseado.

Sospeché que era necesario volver a la definición de las corrientes y, de hecho, al hacerlo, se puede derivar el resultado. Aquí hay una versión corta.

La corriente de electrones se define como [ver ecuación (6.6) en 1 ]

$$\tag{1}J_\mu(x) = -e\bar{u}_f\gamma_\mu u_i \times\mathrm{exp}[(p_f-p_i)\cdot x]$$ que escribimos como $$\tag{2}J_\mu(x) = j_\mu\mathrm{exp}[(p_f-p_i)\cdot x].$$

También tendremos que usar

$$\tag{3}q = p_i^A-p_f^A = p_f^B-p_i^B$$

Entonces la integral$(1)$en la publicación original se puede escribir

$$\tag{4} T_{fi} = -i\int \!dt_Ad^3x_A d^3x \,\, j^Aj^B e^{i(p_f^{A0}-p_i^{A0})t_A}e^{i(p_f^{B0}-p_i^{B0})t_A}\frac{1}{|\vec{x}|}e^{i\vec{q}\cdot\vec{x}}.$$

ahora cambiando$\vec{x}=\vec{x}_B-\vec{x}_A$con$d^3x=d^3x_B$y usando$(3)$y

$$(\vec{p}_f^A-\vec{p}_i^A)\cdot(\vec{x}_B-\vec{x}_A) = -(\vec{p}_f^B-\vec{p}_i^B)\cdot\vec{x}_B-(\vec{p}_f^A-\vec{p}_i^A)\cdot\vec{x}_A,$$

ecuación$(4)$se convierte

$$\tag{3} T_{fi} = -i\int \!dt_A\int d^3x_A\int d^3x_B \, \frac{J_0^A(t_A,\vec{x}_A)\,J_0^B(t_A,\vec{x}_B)}{4\pi|\vec{x}_B-\vec{x}_A|},$$ dónde $J_0^A(t_A,\vec{x}_A)$corresponde a los OP $A(t_A,\vec{x}_A)$etcétera.

---

Referencias: Véase el apéndice de JH Field, Electromagnetismo clásico como consecuencia de la ley de Coulomb, la relatividad especial y el principio de Hamilton y su relación con la electrodinámica cuántica