Cambio de marco de referencia para una función de onda: ¿mismo módulo pero diferentes corrientes?

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Cambio de marco de referencia para una función de onda: ¿mismo módulo pero diferentes corrientes?

andreapaco

Supongamos que, en un cierto $t=0$ , uno tiene una función de onda

ψ = ψ (X, y)

$\psi=\psi(x,y)$ definido en un plano y bien normalizado a

1

$1$ . Las coordenadas (x,y) se refieren al marco

x O y

$xOy$ .

¿Cómo cambia la función de onda si, en el tiempo $t=0$ , uno salta sobre un marco giratorio $x\prime O\prime y\prime$ tal que

El origen coincide con el del cuadro inicial (es decir, $O\,\equiv \, O^\prime$ );
En el momento $t=0$ , $x \, \equiv x^\prime$ y $y \, \equiv \, y^\prime$ ;
El segundo marco de referencia tiene velocidad angular $\Omega$ con respecto al primero.

NB 1: no estoy interesado en la función de onda en diferentes momentos, es decir, para $t>0$ , pero justo en

ψ^{'} = ψ^{'} (X^{'}, y^{'})

$\psi'=\psi'(x',y')$ en

t = 0

$t=0$ .

NB 2: espero (corríjame si me equivoco) $\psi$ y $\psi^\prime$ ser tal que $|\psi|^2=|\psi^\prime|^2$ pero sus fases deben ser diferentes porque las corrientes , por ejemplo, la corriente de probabilidad

\vec{j} = \frac{ℏ}{2 metro i} (ψ^{*} \nabla ψ - ψ \nabla ψ^{*})

$\vec{j}= \frac{\hbar}{2mi}(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*)$ debe ser diferente en los dos marcos.

eli

\begin{aligned} x \mapsto x \cos (Ω t) - y \sin (Ω t) \\ y \mapsto x \sin (Ω t) + y \cos (Ω t) \end{aligned}

$\begin{aligned}x\mapsto x\cos \left( \Omega \,t\right) -y\sin \left( \Omega \, t\right) \\ y\mapsto x\,\sin\left( \Omega \, t\right) +y\,\cos\left( \Omega t\right) \end{aligned}$

andreapaco

Gracias por tu comentario. No creo que esta transformación sea suficiente... porque al

t = 0

$t=0$ las dos funciones de onda,

ψ

$\psi$ y

ψ^{'}

$\psi^\prime$ coincidiría. Estoy de acuerdo en que los módulos cuadrados de

ψ

$\psi$ y

ψ^{'}

$\psi^\prime$ debe coincidir en

t = 0

$t=0$ , pero debe haber algo diferente en sus fases . Es decir, sus fases deben ser diferentes porque las corrientes medidas en los dos marcos deben ser diferentes.

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Cambio de marco de referencia para una función de onda: ¿mismo módulo pero diferentes corrientes?

$\begin{aligned}x\mapsto x\cos \left( \Omega \,t\right) -y\sin \left( \Omega \, t\right) \\ y\mapsto x\,\sin\left( \Omega \, t\right) +y\,\cos\left( \Omega t\right) \end{aligned}$
Gracias por tu comentario. No creo que esta transformación sea suficiente... porque al $t=0$ las dos funciones de onda, $\psi$ y $\psi^\prime$ coincidiría. Estoy de acuerdo en que los módulos cuadrados de $\psi$ y $\psi^\prime$ debe coincidir en $t=0$ , pero debe haber algo diferente en sus fases . Es decir, sus fases deben ser diferentes porque las corrientes medidas en los dos marcos deben ser diferentes.

Jitendra · Answer 1

El cambio de sistema de coordenadas en la mecánica cuántica se puede hacer fácilmente en el enfoque de Heisenberg de la mecánica cuántica. Puede transformar muy fácilmente (como demostraré a continuación) el hamiltoniano de un marco de referencia al otro y luego conectar este nuevo hamiltoniano en la ecuación de Schrödinger para encontrar las funciones de onda transformadas.

hamiltoniano en el marco resto/tierra- $H$

Hamiltoniano en el marco de rotación (rotación con velocidad angular $\Omega$ ) - $H_{rot}$

$H_{rot} = UHU^\dagger -iU\frac{dU^\dagger}{dt}$

dónde $U$ es el operador de transformación. $U = e^{-i\Omega tJ_z }$

demás, $\phi_{rot}(t) = e^{-i\Omega t J_z}\phi(t)$

dónde $J_z$ es el $z$ -componente del momento angular total para la rotación alrededor del $z$ -eje con velocidad angular $\Omega$ .

Si tomas por ejemplo el armónico oszillazor hamiltoniano como ejemplo, ¿qué es sigma z en ese caso? Además, ¿qué sería H rot entonces?
¡Gracias por su respuesta! De todos modos, me temo que no has respondido a mi pregunta. Estoy interesado en cómo se modifica la función de onda, no en el hamiltoniano. Además, en t=0, la transformación que has propuesto se reduce a la identidad, lo cual -creo- está mal.
@AndreaPaco Como la rotación se cuantifica en la mecánica cuántica. La función de onda en el marco de rotación será $\phi_{rot}(t) = e^{-i\Omega t L_z}\phi(t)$ . $L_z$ puede ser matriz si tiene dimensiones finitas o $L_z=xp_y-yp_x$ si tienes un espacio de Hilbert de dimensión infinita.
@lalala para oscilador armónico cuántico $U=e^{i\Omega t L_z}$ dónde $L_z= xp_y-y_px$ . Puedes hacer el resto de las matemáticas.
@Jitendra, gracias. Pero, en t=0, las funciones de onda son las mismas en los dos marcos, lo que creo que no es correcto. ¿Estás de acuerdo?
Gracias. Por supuesto. No pensé en llamar al operador de momento angular como matriz de Pauli; pero tiene sentido.
@AndreaPaco en t=0 $\phi_{rot}(0) = e^{-i\Omega L_z (0)}\phi(0) = \phi(0)$ . En t=0 las funciones de onda deben coincidir, ¿dónde está el problema?
Para mí, el hecho de que las funciones de onda coincidan en t=0 es contrario a la intuición. Es una cuestión de corrientes : si algo (por ejemplo, un vórtice) está girando en un marco determinado, debería girar con una frecuencia angular diferente en otro marco.
Además, tome otro ejemplo: un marco que se está traduciendo con respecto a otro. Si un determinado paquete de ondas tiene una cierta velocidad de grupo en un marco, espero que esta velocidad de grupo sea diferente en el otro marco (inercial).
@AndreaPaco Como todas las transformaciones utilizadas en física son continuas y diferenciables, de acuerdo con las condiciones de contorno, las funciones de onda en t=0 deberían coincidir. Por supuesto, tiene razón en que en el marco giratorio la velocidad angular será diferente, pero en t = 0 no hay efecto de transformaciones, por lo que las funciones de onda coinciden en ambos marcos. En el caso de la traslación, simplemente puede reemplazar el momento angular del momento lineal. Puede recordar de la mecánica cuántica elemental que el momento lineal es un generador de traslación y el momento angular es un generador de rotación.
Sí, recuerdo que el momento es el generador de traslación y el momento angular es el generador de traslaciones. Entonces, si las funciones de onda son las mismas en los dos marcos, ¿cómo puedo calcular matemáticamente que las velocidades angulares son diferentes? En vista de esto, no estoy seguro de que la transformación unitaria $U$ que ha mencionado (¡aunque es correcto!) juega el papel de cambiador de marco: de hecho, no estoy seguro de que el concepto "operación unitaria que realiza una rotación" corresponda al concepto "transformación del marco de referencia".
Todo lo que dije fue que en t=0 las funciones de onda coincidirán. En un momento posterior t, las funciones de onda definitivamente cambiarán. Simplemente multiplique su función de onda de marco estático con $e^{-i\Omega L_zt}$ y obtendrá su función de onda de marco giratorio. ( $\phi_{rot} = U\phi$ ).
Le agradezco nuevamente su interés en mi pregunta. Lo siento, pero tu explicación no me convence del todo. Para mí es muy extraño que, en $t=0$ las funciones de onda en los dos marcos coinciden. Como dije (y usted estuvo de acuerdo conmigo) el momento angular medido en los dos marcos debería ser diferente, también en $t=0$ .

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