En primer lugar, no subestime la idea de "ensayo y error" como una explicación válida. Por cada resultado pulido que hace que las cosas parezcan encajar sin problemas en su lugar, es probable que haya decenas de otros intentos de resultados en los cuadernos (o papeleras) del investigador que lo publicó y probablemente miles de intentos similares de otros investigadores que no lo hicieron. ¡Escriba sobre el tema!

Aquí hay un método con el que vine hace algunos años cuando me hacía preguntas muy parecidas a las suyas. Al menos encuentro esto "satisfactorio" y "sistemático". Uno comienza con la noción de:

Un sistema cuántico general cuyas medidas varían de forma armómica en el tiempo.

es decir, nos preguntamos qué tipos de osciladores cuánticos podrían existir cuyas medidas varíen periódicamente con el tiempo. Esto podría interpretarse como la versión cuántica más general posible de un oscilador armónico, y necesariamente conduce a la idea del operador de escalera.

Entonces, comencemos con el hamiltoniano y los estados propios de energía; estos últimos son contables$\mathbf{L}^2$-conjunto completo de vectores propios verdaderos del espacio de estado cuántico de Hilbert$\mathcal{H}$o son un espectro continuo de kets en el conjunto de distribuciones temperadas en$\mathcal{H}$: de cualquier manera, su evolución temporal es siempre de la forma$\phi(\omega,\,t) = \phi_\omega e^{-i,\omega\,t}$. Y también podemos ver que el espectro de energía debe ser discreto de manera muy simple. Informalmente, cuando calculamos la medida media$\left<\left.\psi\right|\right.\hat{A}\left.\left|\psi\right.\right>$de cualquier observable$\hat{A}$de un estado cuántico general$\psi$, obtenemos una superposición de frecuencias de pulsación$\omega_1-\omega_2$dónde$\omega_1,\omega_2$pertenecen al conjunto de frecuencias "válidas": por lo que estos latidos solo pueden sumar una función periódica si hay alguna diferencia$\omega_1-\omega_2$es un número entero múltiplo de alguna diferencia básica de frecuencia más pequeña$\omega_0$(ver nota al pie para un análisis más cuidadoso).

Entonces, podemos demostrar que podemos asumir que el espectro de energía es (1) discreto y (2) puede interpretarse como espaciado uniformemente: los estados propios de energía deben ser un subconjunto de$\left\{E_k=E_0 + k \Delta E\right\}_{k=0}^\infty$dónde$E_0$es la energía del estado fundamental y$\Delta E = \hbar \omega_0$el menor espaciamiento de energía posible. Si hay algunos estados propios de energía en este conjunto que son aniquilados por todos los observables, que así sea: simplemente los dejamos ahí por conveniencia y su presencia no influirá en las mediciones. A continuación veremos que, de hecho, todas las frecuencias deben estar presentes y observables para sistemas cuánticos importantes. Entonces el hamiltoniano en base discreta de estados propios de energía es:

$$\hat{H} = E_0 I + \hbar\,\omega_0\, {\rm diag}[0,1,2,3,\cdots]\qquad(1)$$

y todos los observables válidos se pueden escribir como matrices cuadradas numerables infinitas en esta base. Note que ni siquiera tenemos que asumir separabilidad (base contable para${\cal H}$) - esto cae fuera del requisito de comportamiento armónico en el tiempo de nuestras mediciones.

Por lo tanto, todos los observables válidos son matrices hermitianas cuadradas infinitas numerables$\hat{A} = \left(a_{j,k}\right)_{j,k\in\mathbb{N}}$.

Para el oscilador armónico simple cuántico básico , ahora establecemos el requisito más fuerte de que debemos tener al menos un observable cuyas mediciones tengan estadísticas que varíen sinusoidalmente (no solo periódicamente) con el tiempo. Escribiendo un estado cuántico general como:

$$\psi = \sum\limits_{j\in\mathbb{N}} \psi_j e^{-i\,\left(j\,\omega_0+\frac{E_0}{\hbar}\right)\,t}\qquad(2)$$

de modo que:

$$\left<\left.\psi\right|\right.\hat{A}\left.\left|\psi\right.\right> = \sum\limits_{j=0}^\infty a_{j,j}|\psi_j|^2 + 2\,{\rm Re}\left(\sum\limits_{j=0}^\infty\sum\limits_{k=j+1}^\infty a_{j,k} \psi_j \psi_k^* \exp(i\,\omega_0\,(k-j)\,t)\,\right)\qquad(3)$$

podemos ver fácilmente que los observables con medios de medición que varían sinusoidalmente deben tener dos franjas diagonales diagonales conjugadas complejas colocadas simétricamente. El caso más simple es cuando las dos franjas están inmediatamente arriba y debajo de la diagonal principal, cuando (3) variará como$\cos(\omega_0\, t + \delta)+const.$: si las dos rayas están desplazadas$N$pasos a cada lado de la diagonal principal, (3) varía como$\cos(N\,\omega_0\, t + \delta)+const.$.

Así que ahora tomamos pares de tales observables "rayados" y buscamos los pares más simples$\hat{X},\,\hat{P}$que cumplen las relaciones canónicas de conmutación$[\hat{X},\,\hat{P}]=i\,\hbar\,I$para que implementemos el principio de incertidumbre de Heisenberg (ver mi respuesta aquí y aquí ). Primero, analicemos el caso en el que las rayas están rectas por encima y por debajo de la diagonal principal. Sin pérdida de generalidad, podemos escribir el hermitiano:

$$\begin{array}{ll}\hat{X} = \sqrt{\frac{\hbar}{2}}\left(\tilde{X} + \tilde{X}^\dagger\right) \\ \hat{P} = \sqrt{\frac{\hbar}{2}}\left(\tilde{P} + \tilde{P}^\dagger\right)\end{array}\qquad(4)$$

dónde:

$$\tilde{X} = \left(\begin{array}{ccccc}0&x_1&0&0&\cdots\\0&0&x_2&0&\cdots\\0&0&0&x_3&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{array}\right)\quad\tilde{P}=\left(\begin{array}{ccccc}0&p_1&0&0&\cdots\\0&0&p_2&0&\cdots\\0&0&0&p_3&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{array}\right)\qquad(5)$$

son ambas matrices triangulares superiores de rayas solitarias arbitrarias. Si escribimos y resolvemos para$[\hat{X},\hat{P}]=i\,\hbar\,I$, obtenemos:

$$\begin{array}{l}{\rm Im}(x_j\,p_j^*) = j\\p_{j+1}\,x_j = x_{j+1}\,p_j\end{array}\qquad(6)$$

La primera de las relaciones en (6) dice que ninguno de los$x_j$o$p_j$puede ser cero, con lo cual la segunda relación implica$p_j = \alpha\, x_j$, para alguna constante compleja$\alpha$. Al sustituir este resultado en la primera de las relaciones de (6) obtenemos:

$$\begin{array}{ll}\hat{X} = \sqrt{\frac{\hbar}{2\,m\,\omega_0\,\cos\chi}}\left(a^\dagger\,e^{-i\,\xi} + a\,e^{i\,\xi}\right) \\ \hat{P} = i\,\sqrt{\frac{\hbar\,m\,\omega_0}{2\,\cos\chi}}\left(a^\dagger\,e^{-i\,(\xi+\chi)} - a\,e^{i\,(\xi+\chi)}\right) \end{array}\qquad(7)$$

donde hemos definido la constante compleja arbitraria$\alpha = -i\,m\,\omega_0\,e^{i\,\chi}$escribiéndolo en términos de una segunda magnitud real positiva$m$con las dimensiones de masa y un factor de fase arbitrario$\chi$y donde también hemos definido:

$$a = \left(\begin{array}{ccccc}0&\sqrt{1}&0&0&\cdots\\0&0&\sqrt{2}&0&\cdots\\0&0&0&\sqrt{3}&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{array}\right)\qquad(8)$$

y su conjugado hermitiano como los operadores de escalera habituales. Se eliminan de este análisis de forma bastante natural y pueden considerarse versiones normalizadas "prototípicas" de las matrices de "banda".$\tilde{X}$y$\tilde{P}$en (7) que necesitamos construir los observables hermitianos$\hat{X}$y$\hat{P}$con. La familia general de pares observables en (7) se reduce a los observables de posición y momento habituales cuando$\xi=\chi=0$. Tenga en cuenta que el requisito de la relación de conmutación canónica obliga a que todas las frecuencias en (1) estén presentes y sean observables; no puede haber espacios de$n\,\omega_0$por$n>1$y debe haber un número infinito de ellos. El CCR no puede ser realizado por matrices finitas ya que el lado izquierdo$[\hat{X},\,\hat{P}]$, al ser un corchete de mentira entre matrices, necesariamente tendría un rastro de cero para matrices cuadradas finitas, lo que no puede ser cierto para el lado derecho$i\,\hbar\,I$. Hermann Weyl prestó atención por primera vez a este simple punto.

Para los otros casos de observables cuyas infinitas matrices rayadas tienen dos rayas diagonales que son$N$rayas por encima y por debajo de la diagonal principal, el análisis es esencialmente el mismo que el anterior: lo que sucede en estos casos es que uno encuentra que$\mathcal{H}$se divide en$N$subespacios que son cada uno invariante bajo los observables$\hat{H},\,\hat{X},\,\hat{P}$y cada uno de los cuales se comporta bajo la acción de estos observables de la misma manera que en la definición original, aparte de que el espaciamiento mínimo de energía ahora es$N\,\omega_0$. En otras palabras, ahora tenemos$N$sistemas cuánticos de osciladores armónicos simples desacoplados, cada uno con$N$veces la energía original espaciamiento: el suelo,$N^{th}$,$2\,N^{th}$,$3\,N^{th} \cdots$estados propios de energía y ningún otro está cerrado bajo la acción de cualquier miembro del álgebra$\mathbf{A}$de operadores generados por$\hat{H}, \,\hat{X},\,\hat{P}$. Estos estados forman nuestro primer subespacio cuántico que se comporta como un oscilador armónico cuántico con espaciado de energía$N\,\hbar\,\omega_0$. Asimismo, el primero,$(N+1)^{th}$,$(2\,N+1)^{th}$,$(3\,N+1)^{th} \cdots$estados propios de energía y ningún otro está cerrado bajo ningún miembro de$\mathbf{A}$. Estos forman el segundo subespacio de estado cuántico y nuestro segundo oscilador armónico cuántico. Y así sucesivamente: hay$N$tales subespacios donde el$j^{th}$tal subespacio es el atravesado por estados propios de energía$j,\,N+j,\,2N+j,\,\cdots$. Esta división de los subespacios cuánticos se dibuja figurativamente a continuación, lo que muestra primero el caso recién estudiado donde las franjas están directamente arriba y abajo de la doagonal principal:

y ahora qué sucede cuando las matrices rayadas tienen sus franjas distintas de cero dos franjas por encima y dos franjas por debajo de la diagonal principal:

Así que estos casos con rayas$N$las franjas por encima y por debajo de la diagonal principal no nos dan esencialmente nada nuevo: siempre obtenemos un oscilador armónico cuántico con hamiltoniano de la forma (1) y conmutables canónicamente observables de la forma (7), para algún valor de espaciado de energía uniforme$\hbar\, \omega$y energía del estado fundamental.

Podemos completar el cuadro derivando de (1) la matriz hamiltoniana en términos de este operador de escalera$a$y su conjugado$a^\dagger$:

$$\hat{H} = E_0 I + \hbar\,\omega_0\, a^\dagger\,a\qquad(9)$$

Entonces vemos que los operadores de escalera surgen de manera bastante natural en el camino cuando comenzamos con nuestra definición original y retrocedemos hacia el problema original del oscilador armónico cuántico de la década de 1920. De hecho, una vez que hemos construido un par general de observables como en (7) que cumplen las relaciones canónicas de conmutación, uno puede mostrar de manera bastante directa que los operadores con las matrices dadas en (7) deben tener espectros continuos. Entonces, si cambiamos nuestras coordenadas para que trabajemos en coordenadas de posición, es decir , donde el$\hat{X}$en (7) se convierte en el operador diagonal (multiplicación)$\hat{X}f(x) = x f(x)$por$f(x)\in \mathcal{H} = \mathbf{L}^2(\mathbb{R}^3)$, entonces podemos argumentar como lo hago en mi respuesta aquí que es necesario un sistema de coordenadas en el que$\hat{X}f(x) = x f(x)$ y $\hat{P} f(x) = -i\,\hbar\,\nabla f(x)$. Así que ahora, de (9), el hamiltoniano en estas coordenadas es:

$$\begin{array}{lcl}\hat{H} &=& \hbar\,\omega_0 \left(a^\dagger\,a + \frac{1}{2}I\right) + \left(E_0 - \frac{\hbar\,\omega_0}{2}\right)I\\ &=& \frac{1}{2\,m\,\cos\chi} \hat{P}^2 + \frac{1}{2\,\cos\chi}\,m\,\omega_0^2\,\hat{X}^2 - \frac{\omega_0\,\tan\chi}{2}(\hat{X}\hat{P} + \hat{P}\hat{X}) +\left(E_0 - \frac{\hbar\,\omega_0}{2}\right)I\end{array}\qquad(10)$$

de modo que la ecuación de Schrödinger en estas coordenadas es:

$$i\hbar\partial_t \psi = -\frac{1}{2\,m\,\cos\chi} \nabla^2 \psi + \frac{1}{2\,\cos\chi} m\,\omega_0^2 |\vec{x}|^2 \psi + i\,\hbar\,\omega_0\,\tan\chi\,\vec{x}\cdot\nabla \psi + \left(E_0 +i\,\frac{\tan\chi\,\hbar\,\omega_0}{2} - \frac{\hbar\,\omega_0}{2}\right)\psi \qquad(11)$$

y la ecuación de Schrödinger más "tradicional" se recupera cuando$\chi = 0$y$E_0 = \hbar\,\omega_0/2$:

$$i\hbar\partial_t \psi = -\frac{1}{2\,m} \nabla^2 \psi + \frac{1}{2} m\,\omega_0^2 |\vec{x}|^2 \psi\qquad(12)$$

---

Nota al pie: análisis adicional de la suposición general de variación armónica en el tiempo

Imaginamos la media de cualquier observable$\hat{A}$en$\mathcal{H}$; tenemos un estado general$\psi=\sum_\omega \phi(\omega)$(aquí "$\sum$"es figurativo: podría ser una integral) y la media de$\hat{A}$cuando$\psi$prevalece es:

$$\left<\left.\psi\right|\right.\hat{A}\left.\left|\psi\right.\right> = \sum_{\omega_1,\omega_2} A(\omega_1) A^*(\omega_2) \phi_{\omega_1} \phi_{\omega_2}^* \exp(-i\,(\omega_1-\omega_2)\,t)\quad(13)$$

Ahora bien, esto sólo puede ser una función periódica del tiempo si todos los$\omega_1-\omega_2$son múltiplos de números enteros de algunos más pequeños$\omega_0$, es decir , el$A(\omega_1) A^*(\omega_2) \phi_{\omega_1}\phi_{\omega_2}^*$puede ser distinto de cero para frecuencias discretas espaciadas por números enteros múltiplos de$\omega_0$.

Pero esto es así por suposición para cada observable impartido a este sistema cuántico. Además, asumimos que nuestros observables forman un espacio vectorial, de modo que si Hermitian$\hat{A}$y$\hat{B}$son observables, entonces también lo es$\hat{A} + \hat{B}$. Por lo tanto, debe haber una frecuencia mínima$\omega_0$común a todos los observables válidos con la propiedad anterior. De lo contrario, podríamos sumar expresiones de la forma (13) donde los dos espaciados discretos$\omega_0$y$\omega_0^\prime$eran múltiplos irracionales entre sí, lo que, con un poco de manipulación, muestra que la media de$\hat{A} + \hat{B}$no puede ser periodico

Así que o bien los conjuntos de$\left\{\phi(\omega,\,t)\right\}_{\omega\in\Omega}$y el conjunto de índices$\Omega$son discretos, o hay partes continuas de estos conjuntos que están en el núcleo (espacio nulo) de todos los observables válidos . Estas partes continuas son, por lo tanto, inobservables : no hay ningún experimento que podamos hacer que esté influenciado por su presencia. En particular, el hamiltoniano$\hat{H}$es un observable. ¡Entonces su espacio propio continuo debe estar en su núcleo! Así que cuando escribimos la ecuación de Schrödinger$i\,\hbar\,\partial_t \psi = \hat{H}\psi$, y resuelve el$m^{th}$momentos de distribuciones de probabilidad$\left<\left.\psi\right|\right.\hat{A}^m\left.\left|\psi\right.\right>$(este conocimiento es equivalente a conocer las distribuciones de probabilidad, a través de la función característica) entonces no perdemos información estudiando estados en el espacio del cociente$\mathcal{H}/\tilde{\mathcal{H}}$, dónde$\tilde{\mathcal{H}}$es la intersección de todos los núcleos de observables válidos (puede mostrar que debe ser un espacio vectorial).

Siempre he encontrado que el método de Griffith para 'derivar' los operadores de escalera es fácil de entender. Y, si olvido su forma precisa, siempre puedo recuperarla de esta manera. Primero presenta operadores de escalera para el oscilador armónico unidimensional. Aquí está su método básico:

Para el oscilador armónico,

$$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{m\omega^2\hat{x}^2}{2}=\frac{1}{2m}\left[\hat{p}^2+\left(m\omega\hat{x}\right)^2\right].$$ En la última forma, es tentador tratar de escribir el operador entre corchetes como un producto: $$\left(i\hat{p}+m\omega\hat{x}\right)\left(-i\hat{p}+m\omega\hat{x}\right)\tag{wrong!},$$ pero esto no funcionaría ya que los operadores de impulso y posición no se desplazan. (Funcionaría para números). La idea crucial es intentar calcular ese producto y ver qué tan cerca del hamiltoniano real nos encontramos. Si nos equivocamos en un término, podemos simplemente agregarlo al final.

¡Así que, aquí vamos! Definamos los operadores$\hat{A}_-$y$\hat{A}_+$como

$$\hat{A}_-\equiv \left(i\hat{p}+m\omega\hat{x}\right),\ \hat{A}_+\equiv \left(-i\hat{p}+m\omega\hat{x}\right)$$ y luego calcular el producto $\hat{A}_-\hat{A}_+.$Después de un poco de trabajo, que incluye el uso de la relación de conmutación canónica, se obtiene $$\hat{A}_-\hat{A}_+=\left[\hat{p}^2+\left(m\omega\hat{x}\right)^2\right]+m\omega\hbar.$$

Esto se parece mucho al hamiltoniano real de arriba. En realidad, solo está fuera de lugar por un término constante delante del término entre corchetes y ese molesto término constante a la derecha. Bueno, dividamos ambos lados por$2m$entonces el hamiltoniano sale explícitamente y reescribe las cosas para que se vean bien y simétricas.

$$\frac{\hat{A_-}}{\sqrt{2m}}\frac{\hat{A_+}}{\sqrt{2m}}=\hat{H}+\frac{\omega\hbar}{2}.$$

Resolviendo para$\hat{H}$Se obtiene

$$\hat{H}=\frac{\hat{A_-}}{\sqrt{2m}}\frac{\hat{A_+}}{\sqrt{2m}}-\frac{\omega\hbar}{2}=\hbar\omega\left(\frac{\hat{A_-}}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\frac{\hat{A_+}}{\sqrt{2m\hbar\omega}}-\frac{1}{2}\right).$$

Mirando hacia atrás en la forma final, hubiera sido más conveniente definir

$$\hat{a}_\mp\equiv\frac{1}{\sqrt{2\hbar m\omega}}\left(\pm i\hat{p}+m\omega\hat{x}\right)=\frac{\hat{A}_\mp}{\sqrt{2\hbar m\omega}}$$ porque esta elección simplifica la forma del hamiltoniano: $$\hat{H}=\hbar\omega\left(\hat{a}_-\hat{a}_+-\frac{1}{2}\right).$$

Después, uno hace las observaciones increíblemente inteligentes de cómo$\hat{a}_\mp$actuar sobre los estados propios de energía. Esto determina cuál es el operador de bajada y cuál es el de subida, justificando así los subíndices.

El concepto matemático detrás de los operadores de escalera es el "sistema raíz" de un álgebra de Lie y cosas relacionadas con él. Así que creo que el enfoque más sistemático para los operadores de escalera es el matemático.

Si está interesado, puede encontrar algunas explicaciones en la siguiente publicación: Enlace (en la respuesta que contiene la palabra "raíces").

Las matemáticas y la relación con la física están muy bien explicadas en el libro de Georgi ( Link ). También puedes echar un vistazo al libro de Ramón ( Link ) que también explica este concepto.

La respuesta de Selene Routney está perfectamente bien, pero para los estudiantes universitarios, puede ser un poco complicado de entender.

Para hamiltonianos simples, para un operador$J_z$de la que queremos elevar los autovalores, podemos hacer uso de la identidad$[J_z ,J_+ ] = J_+$

y busque los operadores que siguen a eso. Eso funcionará como un operador de creación, y se puede probar como