¿Cómo se descubrió la propiedad de foco/directriz de las secciones cónicas?

La respuesta será decepcionante, me temo, pero típico, "natural" y "artificial" son nociones muy relativas. El "descubrimiento" de la propiedad foco-directriz fue probablemente un lema técnico en las investigaciones de lugares geométricos sólidos, que más tarde también se usó en el estudio de espejos curvos. Cuando apareció, los griegos no le dieron mucha importancia, su prominencia moderna en la teoría de las secciones cónicas es un artefacto tardío.

La fuente más antigua que tenemos es On Burning Mirrors de Diocles, y él está trabajando a partir del trabajo anterior de Euclid sobre espejos esféricos. El punto era, por supuesto, encontrar una forma que juntara los rayos del sol (suponiendo que fueran paralelos) en un solo punto, el foco. Como señaló Knorr, reducir la propiedad de enfoque del rayo a la propiedad de la directriz de enfoque para "descubrir" que la parábola la posee requeriría algo así como resolver una ecuación diferencial, que estaba más allá de los dispositivos de los griegos. Luego especuló que alguien (quizás, el amigo de Arquímedes, Dositheus) hizo una "suposición afortunada", y luego procedió a mostrar que la curva construida por la propiedad de la directriz de enfoque es una parábola (Anthemio describe una demostración similar para la elipse). Acerbi sugiere una reconstrucción diferente enLa geometría de los espejos ardientes en la antigüedad griega , donde se pueden encontrar detalles geométricos de cómo surgió la propiedad como lema:

" Las propiedades focales de la parábola se obtuvieron como un subproducto de un intento de probar que la propiedad de la subtangente es un sumptoma de la curva . Sobre la relevancia de esta propiedad a los ojos de los antiguos geómetras no es necesario gastar tantas palabras Recuerde, de hecho, que la propiedad de la subtangente era bien conocida por Arquímedes ... Como consecuencia, la propiedad focal resulta crucial para emplear la subtangente como método para construir una parábola con un vértice y un parámetro dados (cf. Con .I.52, que, sin embargo, no conduce de manera inmediata a una construcción puntual) y permite resolver por reducción un caso particular del problema del trazado de una sección cónica después de conocer algunas de sus tangentes.

“ [Suposición] es que una propiedad tan importante (para nosotros) como la directriz-foco no podría reducirse al estado de mera funcionalidad a una determinación puntual de una parábola , como indiscutiblemente sucede en el enfoque de Diocles y como el mismo Knorr tiene que hacer reconocer ... De esta propiedad, no hay rastro en la Cónica de Apolonio tal como ahora existen (recuerde que se mantiene solo en referencia al eje y, por lo tanto, no es un sumptoma que pueda referirse a cualquier diámetro).

" Toomer supuso que el propio Diocles fue el descubridor de la propiedad en el caso de la parábola, extendiéndose su validez después de él a las otras secciones cónicas. Los pocos lemas que ofrece Pappus, al final del libro VII de su Collectio... es el único testimonio en el corpus antiguo del hecho de que la propiedad foco-directriz es un sumptoma de las varias secciones cónicas (la formulación como lugar geométrico lo confirma exactamente).

Zeuthen (1886, pp. 210-215 y 367-371) observa que, si Pappus tuviera que hacer explícito tal lema, entonces la propiedad foco-directriz debería haberse dado por sentada en Loci on a Surface. La observación de Zeuthen puede completarse con la conjetura de que el lugar más "natural" donde se estableció la propiedad, por supuesto en la forma anterior de un sumptoma formulado como una restricción que identifica un locus, es en Solid Loci de Aristeo... En suma, si uno no está dispuesto a aventurarse en conjeturas vacías, entonces una hipótesis mínima es que la propiedad había sido empleada en los Loci on a Surface como un paso intermedio en el análisis de algún locus, pero que simplemente se consideró como un sumptoma de un sección cónica ".

Tiendo a estar de acuerdo con el sentimiento expresado en la pregunta, que la definición de cónicas de foco-directriz parece artificial (e incómoda). Sin embargo, ha tenido sus adeptos. Para responder a la pregunta '¿Cómo podría el estudiante descubrir las propiedades de foco/directriz por sí mismo?' podría ser útil adoptar un enfoque a posteriori , considerando el material en un libro de cónicas que trabaje ampliamente con estas propiedades.

Un ejemplo de un libro que utilizó este enfoque alcanzó cierta popularidad en el siglo XIX, al menos llegó a muchas ediciones: Secciones cónicas, tratadas geométricamente por WH Besant . ¡Sus pruebas pueden (con meditación) proporcionar algunas pistas heurísticas!