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Cada vez que se pide a los estudiantes que deriven o demuestren algunas identidades de cálculo vectorial, como
a menudo se les pide que se expandan en notación de índice y se reorganicen para dar las expresiones requeridas.
Esto hizo que me preguntara cómo se derivaron por primera vez estas identidades (ya que no todas son consecuencia de la regla del producto de las derivadas).
Una breve búsqueda en la historia del tema parecía sugerir lo siguiente:
Números complejos cuaterniones Grassmann (álgebra exterior) Análisis de vectores.
Otra breve búsqueda sobre el tema de los tensores y Albert Einstein mostró que los dos períodos de desarrollo del análisis vectorial y el análisis tensorial se superponen, por lo que es posible que estén al tanto del desarrollo del otro.
Sin embargo, dado que la cuenta de la historia del análisis vectorial anterior no menciona los tensores ni la notación de índice , ¿cómo se derivaron originalmente las identidades del cálculo vectorial, posiblemente sin la notación de índice disponible en ese momento?
La notación de índice es solo una abreviatura para los cálculos de coordenadas, lo que se vuelve necesario en muchas dimensiones, pero es simplemente conveniente en las dimensiones 3 y 4. Ni siquiera es necesario indexar las variables allí, solo se pueden indicar con letras diferentes.
Puede ver cómo Hamilton trató con las identidades nabla en las secciones 49-50 de su artículo seminal de 1844 Sobre los cuaterniones . Básicamente, las expresa en coordenadas y manipula expresiones coordinadas de acuerdo con las reglas del álgebra de cuaterniones. Maxwell hace lo mismo en la parte VI de su Teoría dinámica del campo electromagnético , excepto que sin cuaterniones, deriva fórmulas en coordenadas y luego las reescribe con nabla. Por cierto, Maxwell fue quien llamó nabla "nabla" en broma, con el nombre de arpa egipcia de forma similar. Las fórmulas de Gauss y Green se expresaron y derivaron originalmente sin notación de índice, o incluso nabla.
La gran ventaja del cálculo vectorial simbólico de Gibbs, que apareció en borrador antes de 1888 y fue sistematizado en su libro de 1901 con Wilson, fue que enumeraba las identidades básicas y ofrecía reglas mediante las cuales se podían derivar otras más complicadas. Sin embargo, su formalismo era incompleto, algunas identidades no se reducen a las básicas y tienen que derivarse directamente de las coordenadas, y solo funcionaba en 3 dimensiones. Así que Einstein no pudo usarlo en la relatividad general. El formalismo tensorial fue desarrollado por Ricci y Levi-Civita en 1890-s, y ellos fueron los que defendieron la notación de índice, ver más aquí . Einstein se apropió de él e introdujo algunas convenciones de simplificación, incluida la regla de la suma.
Para obtener un formalismo completamente libre de coordenadas, que subsume el cálculo vectorial y generalice a dimensiones superiores, se necesitan las formas diferenciales de Cartan, el diferencial, los bemoles, los sostenidos y la estrella de Hodge . No se desarrolló hasta 1950-s.
alejandro eremenko