¿Cuál era la necesidad real de los operadores de divergencia y rotacional?

Estas operaciones surgieron del estudio de los cuaterniones, véase, por ejemplo, el Tratado de Filosofía Natural de Thomson y Tait , que probablemente debería tener información sobre el tipo de matemáticas. El teorema de Stokes se originó con Thomson (Lord Kelvin) alrededor de 1850 y ahí aparece la expresión para curl. La historia de los cuaterniones es ciertamente interesante, comenzando con Hamilton en 1843. Evidentemente, la importancia de una suma y diferencia de derivadas parciales fue reconocida por su utilidad.

INTUICIÓN PLAUSIBLE

Hay muy buenas razones para usar estos operadores, estrictamente desde una perspectiva analítica. La cuestión de cómo definir una derivada en cálculo multivariante nos motiva a considerar primero un caso de campo vectorial bidimensional. En tal caso, el cambio de dirección se puede describir tomando derivadas de la$x-y$componentes del campo con respecto a varias direcciones.

Dejar$\mathbf{A}$sea ​​el campo vectorial con dos componentes,$A_x$y$A_y$, cada función del puesto$(x,y)$. Entonces el cambio total puede ser considerado primero por el cambio en$A_x$con$x$y el cambio en$A_y$con$y$, derivadas en la dirección de las componentes, y segundo por el cambio en$A_x$con$y$y$A_y$con$x$. Es relativamente sencillo mostrar que debemos sumar los dos primeros para mantener sus propiedades útiles,$\frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y}$, y debemos tomar la diferencia de las derivadas cruzadas por sus propiedades útiles,$\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}$. Estos se convierten en nuestros dos derivados más útiles, que son la divergencia y rotacional respectivamente.

Extendiendo esto a tres dimensiones, podemos adaptar fácilmente la derivada de la divergencia simplemente agregando otro término derivado parcial. Sin embargo, los términos de derivadas cruzadas requieren un manejo cuidadoso, ya que ahora hay dos derivadas cruzadas para cada componente, para un total de 9 derivadas parciales. Para extender la derivada rotacional, consideramos las derivadas rotacionales 2D en un plano dado, para los tres planos principales ($xy$,$xz$, y$yz$), y permitimos que cada rotacional en un plano sea un componente en un vector. Así no perdemos información. La componente vectorial que deberíamos usar sería la componente normal al plano.

En el lenguaje de los vectores, este operador rotacional sería:

$$\left (\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z}\right )\mathbf{i} + \left (\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right )\mathbf{j} + \left (\frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\right )\mathbf{k}$$

DESARROLLO HISTORICO

Una explicación moderna con vectores es una cosa, pero el desarrollo histórico es lo que más nos preocupa aquí. Podría decirse que se podría establecer una conexión directamente desde el teorema de Stokes hasta la introducción del rotacional. Desde (Katz 1979), hubo algunos indicios del teorema de Stokes que condujeron a su aparición en el examen Smith's Prize, pero la operación de rizo se hace bastante clara al observar el problema en sí.

Si X,Y,Z son funciones de las coordenadas rectangulares$x,y,z$,$dS$un elemento de cualquier superficie limitada,$l,m,n$los cosenos de las inclinaciones de la normal en$dS$a los ejes,$ds$un elemento de la línea divisoria, demuestre que

$$\iint l \left (\frac{\partial Z}{\partial y} - \frac{\partial Y}{\partial z}\right ) + m\left (\frac{\partial X}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial x}\right ) + n \left (\frac{\partial Y}{\partial x} - \frac{\partial X}{\partial y}\right ) dS = \int \left (X \frac{dx}{ds} + Y \frac{dy}{ds} + Z \frac{dz}{ds} \right )$$ ... la integral única se toma en todo el perímetro de la superficie.

Aparentemente, el lado izquierdo ya había aparecido en algunas obras anteriores de Stokes, aunque no tengo conocimiento de ninguna historia anterior de la expresión. En cuanto a la introducción de la divergencia, estoy seguro de que la suma de derivadas aparecía a menudo en el cálculo de cuaterniones, por lo que podría llevar más trabajo rastrear el origen de esta expresión.

En general, una diferencial completa es una forma diferencial que es la diferencial de alguna función escalar. Hoy diríamos que el diferencial es exacto . Esta idea surge muy naturalmente de la teoría del potencial, desarrollada por Green, Hamilton, Gauss y otros. Se sabía que la condición para, por ejemplo, un diferencial de cuaterniones,

$$\mathbf{A} = A_x dx + A_y dy + A_z dz$$ estar completo es que $$\left (\frac{\partial A_y}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial y}\right ) = \left (\frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x}\right ) = \left (\frac{\partial A_x}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial x}\right ) = 0$$ Y entonces nos queda preguntarnos sobre el comportamiento de los campos de cuaterniones para los cuales esto no es cierto, y nos preguntamos si hay suficiente información para caracterizar de manera única un campo de cuaterniones utilizando tanto la forma diferencial como las derivadas cruzadas anteriores.

Esto nos lleva a una idea introducida en 1858 por Helmholtz de que los campos de cuaterniones se pueden descomponer en sus expresiones de rotacional y divergencia que hemos dado anteriormente. El trabajo de Helmholtz On Integrals of the Hydrodynamical Equations, que Express Vortex-Motion (1858) presenta cantidades similares a la divergencia y el rotacional en el contexto de la dinámica de fluidos y los vórtices.

En cuanto a las notaciones y nociones de divergencia y rotacional, la introducción del símbolo$\nabla$ciertamente trajo algo al asunto. Esto fue, de hecho, introducido por Hamilton, y Maxwell y Tait, entre otros, lo utilizaron mucho. Maxwell, en particular, fue uno de los que asignó un significado físico a la divergencia y la curvatura, aunque sus convenciones eran ligeramente diferentes de las nuestras hoy. Usó la convergencia , que es la divergencia negativa, y llamó curl a la rotación . Estos se exponen claramente en la sec. 25 (p.30) del Volumen 1 de su tratado.

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Referencias seleccionadas

Katz, Victor J. La historia del teorema de Stokes. 1979.

Helmholtz, H. Sobre las integrales de las ecuaciones hidrodinámicas, que expresan el movimiento de vórtice. 1858.

Maxwell, James C. Tratado sobre electricidad y magnetismo, volumen 1 . 1873.

Tait. Sobre el teorema de Green . 1872.

Thomson y Tait. Tratado de Filosofía Natural. 1879.

Otras lecturas

Crowe, Michael J. Una historia del análisis vectorial. 1967.

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PD: no estoy muy familiarizado con los cuaterniones, por lo que algunas de las cosas anteriores donde digo "campo de cuaterniones", etc., estoy proyectando conceptos de campos vectoriales a cuaterniones. Estoy seguro de que esto sería escandaloso para alguien más familiarizado, por lo que las ediciones de esta manera (y otras) son bienvenidas.