¿Cómo se basa exactamente el formalismo de la termodinámica en la geometría de contacto?

Aquí está el resultado:

1. Por un lado, una variedad de contacto estricto $(M,\alpha)$es un$(2n+1)$-variedad dimensional$M$equipado con una forma definida globalmente$\alpha\in \Gamma(T^{\ast}M)$que es máximamente no integrable

   $$\alpha \wedge (\mathrm{d}\alpha)^n~\neq~ 0.\tag{1}$$

   Es de interés encontrar subvariedades$N\subseteq M$tal que$TN\subseteq {\rm ker}(\alpha)\subseteq TM$. Tales subvariedades de máxima dimensión [que resulta ser$n$-dimensional] se denominan subvariedades de Legendrian .

2. Por otro lado, la primera ley de la termodinámica

   $$\mathrm{d}U~=~ \sum_{i=1}^np_i\mathrm{d}q^i \tag{2}$$ [donde$U$es energía interna y$(q^i, p_i)$son variables termodinámicas conjugadas ] produce una forma de contacto $$\alpha~:=~\mathrm{d}U- \sum_{i=1}^np_i\mathrm{d}q^i.\tag{3}$$ Un sistema termodinámico concreto [con una ecuación de estado] se realiza como una subvariedad legendriana.

Referencias:

1. SG Rajeev, Un formalismo de Hamilton-Jacobi para la termodinámica, Annals. física 323 (2008) 2265 , arXiv:0711.4319 .

2. JC Baez, Classical Mechanics versus Thermodynamics, parte 1 y parte 2 , publicaciones del blog Azimuth, 2012.

en términos accesibles para alguien con una formación matemática "básica" como yo (principalmente cálculo): ¿cómo se basa exactamente el formalismo de la termodinámica en la geometría de contacto?

Por lo que entiendo (poco), especialmente de Baez y Grmela , una secuencia lógica de la termodinámica a la geometría de contacto es:

• termodinámica clásica
  -> formulación variacional (maximización de la entropía)
  -> geometría diferencial (formas únicas)
  -> geometría de contacto.

El bit de geometría diferencial incluye una métrica de Riemann, y puede tomar la forma de geometría simpléctica (para variedades de dimensiones pares) o geometría de contacto (para variedades de dimensiones impares).

Aprender más:

• Partiendo de las matemáticas a nivel de cálculo, John Denker propone introducir formas diferenciales y su aplicación a la termodinámica .

• Salamon et al., en La estructura matemática de la termodinámica , ofrecen lo que debería ser una introducción bastante fluida a las variedades de contacto en termodinámica.

• Partiendo de formas diferenciales, Mrugala ofrece otra introducción al tema en On contact and metricstructures on thermodynamic space ( e-print ).

Y hay respuestas, discusiones y referencias muy relevantes en las preguntas anteriores:

Introducción a formas diferenciales en termodinámica
Geometría simpléctica en termodinámica
Variables conjugadas en termodinámica vs. mecánica hamiltoniana

Sospecho que está buscando una respuesta bastante más baja. Tal vez podría aclarar por qué esto le interesa, por contexto.

Mi sensación (no mi fuerte en física, tbh) es que se trata de cómo considerar grandes conjuntos de cosas que interactúan, con ciertos grados de libertad. Digamos que los átomos de helio pueden tratarse como si tuvieran 3 grados (eje xyz), los átomos de hidrógeno como moléculas de H2 tienen una forma adicional de girar y chocar (xyz + giro alrededor del eje central), y así sucesivamente, por ejemplo. para tensión y compresión.

Debido a que la termodinámica se trata de mantener una cosa constante mientras cambia otras cosas, en un espacio matemático que incorpora interacciones con ciertos grados de libertad, generará superficies donde se satisfaga la demanda de que esas variables sean constantes, o múltiples.

El truco de crear un espacio matemático donde puedas identificar patrones más fácilmente se usa mucho en física. Como en la creación del sistema lagrangiano o hamiltoniano, que reduce las cosas a la dinámica central. O bien, usar variables complejas (un número + una contraparte de un número imaginario) para realizar un seguimiento de diferentes tipos de cosas, mientras se hacen cálculos matemáticos sobre la combinación de ellos. Recuerdo disfrutar el momento en que comprendí que puedes tomar las ecuaciones de dos órbitas planetarias y hacer una nueva ecuación que es como un corte a través de las órbitas con puntos; luego simplemente gira el mango para mover el corte y ver si alguno de los puntos alguna vez se superpone, y si lo hacen, los planetas eventualmente chocarán y las órbitas no serán estables.

Los espacios matemáticos son útiles. Grandes conjuntos de cosas que interactúan se reducen a la geometría. De ahí la geometría de contacto, con variedades en 'fase' o espacio matemático.