¿Cómo saber si el pseudoescalar Yukawa Lagrangian es invariante bajo transformación quiral?

La teoría pseudo-escalar de Yukawa Lagrangiana es

L = ψ ¯ ( i γ m ∂ m − metro ) ψ − gramo ψ ¯ i γ 5 ϕ ψ ,
dónde gramo es una constante de acoplamiento. ¿Cómo puedo mostrar que es invariante bajo una transformación quiral, ψ → mi i λ γ 5 ψ ?

Um... ¿conectar la transformación y ver qué pasa?

Respuestas (1)

(Esta es en gran parte una respuesta provocada por su comentario).

Puede obtener la respuesta simplemente recordando las propiedades de conmutación/anticonmutación del γ matrices, y el hecho de que ψ ¯ = ψ † γ 0 . Para ver lo siguiente, tendrías que expandir el factor exponencial, hasta el orden lineal mi METRO = I + METRO + … .

(No voy a hacer tu tarea, ¡esto es solo una guía!)

1) El término cinemático i ψ ¯ γ m ∂ m ψ entra en sí mismo, usando { γ m , γ 5 } = 0 .

2) El término de acoplamiento de Yukawa sigue la secuencia.

3) No existe tal cancelación en el término masivo metro ψ ¯ ψ , pero los dos factores se refuerzan mutuamente. Este término recoge un factor global de mi 2 i λ γ 5 ψ , es decir, dos veces cualquier factor. Por lo tanto, el término de masa no es invariante bajo esta transformación y rompe la simetría quiral.

Por cierto, esta transformación se denomina transformación de vector axial, ya que la correspondiente corriente conservada (en el límite m = 0) Noether se transforma como un vector axial ψ ¯ γ m γ 5 ψ .

Resolviendo en espinores de Weyl ψ L , R = ( 1 ∓ γ 5 ) ψ / 2 es una forma alternativa de ver esto. Con esto, nuevamente tendrás que usar el γ propiedades de las matrices, y llegará al resultado de que sólo el término de masa mezcla las dos quiralidades, es decir, se convierte en metro ( ψ ¯ L ψ R + ψ ¯ R ψ L ) . El término cinemático se transformaría en i ψ L ¯ γ m ∂ m ψ L + i ψ R ¯ γ m ∂ m ψ R y por tanto, es como la suma de los términos cinemáticos de dos lagrangianos independientes. Sin mezclar. Las dos formulaciones son absolutamente equivalentes.

Gracias por tu orientación muy clara. Sin embargo, tengo una pregunta, mientras realizo esta transformación en el término de acoplamiento de Yukawa: obtengo lo siguiente:
L ′ = − gramo ψ ¯ i γ 5 ϕ ψ = − gramo i ψ ¯ mi i λ γ 5 γ 5 ϕ mi i λ γ 5 ψ
¿Por qué no se cancelan las exponenciales para que sea invariante?
Hasta donde yo sé, este Lagrangiano es invariante bajo la transformación quiral solo si metro = 0 . ¿Me equivoco?
No absolutamente correcto. Pero qué hacer con L' en el comentario que escribí arriba. ¿Tiene sentido decir que al intercambiar la posición de
γ 5
a la izquierda de la exponencial, tomas un signo menos? @Comprensión retrospectiva
En una de tus exponenciales debería haber un signo menos, porque ψ ¯ es un conjugado de ψ . También, γ 5 conmuta con su exponencial (porque conmuta con todos los términos en su expansión Tailor). Entonces las dos exponenciales se cancelan entre sí.
Como @New_new_newbie mencionó anteriormente, el hecho de que
{ γ m , γ 5 } = 0
dará como resultado el signo negativo en la exponencial a medida que se mueve
γ m
A la izquierda. Pero es el caso cuando te mueves
γ 5
? quiero decir es
{ γ 5 , γ 5 } = 0
@Fluctuations no, no es cierto. Pero para cada matriz X (en tu caso, X = i γ 5 ), se cumple lo siguiente:
[ X , Exp ⁡ X ] = 0
Retrospectiva hizo la mayor parte del trabajo de seguimiento por mí, así que gracias. Con respecto al último punto, @Fluctuations, como ya se mencionó en Retrospectiva, no son anticonmutadores, ¡conmutan! Para ver esto explícitamente, expanda la exponencial en
[ X , Exp ⁡ X ]
y explotar la linealidad
[ X , ( y + z ) ] = [ X , y ] + [ X , z ]
. Claramente, X viaja con identidad, con X , con X 2 , etcétera. :)
Y @Hindsight, gracias por el trabajo de seguimiento. Sí, la simetría quiral se mantiene solo en el metro = 0 límite. La masa finita rompe explícitamente la simetría quiral. Pero si estos términos de masa son pequeños, como tu y d quarks (los S tu ( 2 ) caso), la simetría quiral puede considerarse una simetría aproximada de las interacciones fuertes. :)
@Hindsight ¿Importa si el 5 es un índice superior o un índice inferior en la matriz gamma? Debido a que me descuidé en mi comentario y perdí el índice, en lugar de colocarlo abajo y elevarlo a un exponencial, lo coloqué accidentalmente arriba
@Fluctuaciones no existe tal cosa como γ 5 .
Si ves en la pregunta está escrito como tal en la exponencial.. ¿Por qué no hay γ 5 Leí en el libro de Zee que no importa cuando volteas el índice de las matrices de Pauli, pero sí importa cuando volteas los de las matrices gamma. ¿Me perdí algo?
@Fluctuaciones: AFAIK, si usa (como de costumbre) el tensor métrico para alternar entre versiones covariantes y contravariantes de las matrices gamma, γ m = gramo m v γ v , entonces, usando la métrica ( + , − , − , − ) , usted obtiene γ 0 = γ 0 y γ i = − γ i , donde el índice i = 1 , 2 , 3 y no cubre 0 . Usar esto parece darme γ 5 = − γ 5 . Entonces, haré ping a Retrospectiva y repetiré "¿ Me perdí algo? " :)
@Hindsight: lea el comentario anterior y corríjame si me equivoco.
@Fluctuations - Pero creo que el punto es - define tu γ 5 cuando se empieza a sí mismo. Cualquiera γ 5 o γ 5 . Pero es recomendable no alternar entre ellos en medio del cálculo, porque eso puede generar confusión.
Alguna información adicional (relacionada): la respuesta de Josh aquí parece respaldar el razonamiento de mi comentario anterior . Nuevamente, ¿me perdí algo?
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