Fórmula usando números de fibonacci

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Fórmula usando números de fibonacci

inducción
Matemáticas
números de fibonacci
Matemáticas discretas
secuencias y series

Abdalá Alfaqir

Dejar $a_n$ ser el $n^{th}$ término de la sucesión definida recursivamente por $a_{n+1} = \frac {1}{1+a_n}$

y deja $a_1 = 1.$ Encuentre una fórmula para $a_n$ en términos de los números de Fibonacci $F_n$ . Demuestra que la fórmula que encontraste es válida para todos los números naturales $n.$

Wow puedo solucionar este tipo de problema?

Y, ¿cómo demostrarlo por inducción? ¿Resuelvo por $a_n$ ¿o que? Soy nuevo en este capítulo (secuencias y series).

GEdgar

No entiendo tu uso de \ allí.

Daniel Schepler

Sugerencia: Calcula los primeros términos de

a (n)

$a(n)$ y vea si nota un patrón allí.

Abdalá Alfaqir

Oh / significa división perdóname soy nuevo aquí

ross milikan

La división es una barra diagonal como escribió en su comentario, no una barra diagonal inversa como en el texto de la pregunta. También sospecho que te referías a

a (n + 1) = 1 / (1 + a (n))

$a(n+1)=1/(1+a(n))$ , no lo que escribiste que simplemente dice

a (n + 1) = (1 / 1) + a (n)

$a(n+1)=(1/1)+a(n)$ que daría

a (n + 1) = n + 1

$a(n+1)=n+1$ . Preste atención al orden de las operaciones o use paréntesis para asegurarse de que salga bien. ¿Acaba de calcular unas pocas docenas de términos en una hoja de cálculo?

doug m

Le sugiero que analice los primeros términos de su secuencia para encontrar un patrón. Cuando crees que tienes tu patrón, escribes tu proposición. p.ej

a_{n} = F_{n} \cdot F_{n + 1}

$a_n = F_n\cdot F_{n+1}$ (Por cierto, esta no es la proposición correcta, solo la tengo aquí como ejemplo). Ahora necesita probar que su proposición es verdadera. Ya habrá cubierto el caso base probando los primeros elementos. Ahora, suponga que la proposición es verdadera para el caso abstracto de

n

$n$ y demuestre que si la suposición es correcta, la proposición también se cumple para

n + 1

$n+1$

Respuestas (2)

Fórmula usando números de fibonacci

Sugerencia: Calcula los primeros términos de $a(n)$ y vea si nota un patrón allí.
La división es una barra diagonal como escribió en su comentario, no una barra diagonal inversa como en el texto de la pregunta. También sospecho que te referías a $a(n+1)=1/(1+a(n))$ , no lo que escribiste que simplemente dice $a(n+1)=(1/1)+a(n)$ que daría $a(n+1)=n+1$ . Preste atención al orden de las operaciones o use paréntesis para asegurarse de que salga bien. ¿Acaba de calcular unas pocas docenas de términos en una hoja de cálculo?
Le sugiero que analice los primeros términos de su secuencia para encontrar un patrón. Cuando crees que tienes tu patrón, escribes tu proposición. p.ej $a_n = F_n\cdot F_{n+1}$ (Por cierto, esta no es la proposición correcta, solo la tengo aquí como ejemplo). Ahora necesita probar que su proposición es verdadera. Ya habrá cubierto el caso base probando los primeros elementos. Ahora, suponga que la proposición es verdadera para el caso abstracto de $n$ y demuestre que si la suposición es correcta, la proposición también se cumple para $n+1$

achille hui · Answer 1

Si veo una relación de recurrencia donde $a_{n+1}$ depende de $a_n$ como una fracción lineal. Escribiré $a_n$ como una proporción $\frac{p_n}{q_n}$ para otras dos secuencias $(p_n)$ y $(q_n)$ estar determinado. Simplifique la relación y vea lo que puedo obtener.

Para la relación de recurrencia en cuestión, tenemos

\frac{{pag}_{norte + 1}}{q_{norte + 1}} = a_{norte + 1} = \frac{1}{1 + a_{norte}} = \frac{q_{norte}}{q_{norte} + {pag}_{norte}}

$\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}} = a_{n+1} = \frac{1}{1+a_n} = \frac{q_n}{q_n + p_n}$

Si las dos secuencias $(p_n)$ , $(q_n)$ satisface

{\begin{cases} {pag}_{norte + 1} & = q_{norte} \\ q_{norte + 1} & = q_{norte} + {pag}_{norte} \end{cases} ⟹ {\begin{cases} {pag}_{norte + 1} & = q_{norte} \\ q_{norte + 1} & = q_{norte} + q_{norte - 1} \end{cases}, para norte > 1

$\begin{cases} p_{n+1} &= q_n\\ q_{n+1} &= q_n + p_n \end{cases} \quad\implies\quad \begin{cases} p_{n+1} &= q_n\\ q_{n+1} &= q_n + q_{n-1} \end{cases}, \quad\text{ for }n > 1$ entonces

\frac{p_{n}}{q_{n}}

$\frac{p_n}{q_n}$ será una solución de la relación de recurrencia original.

Observe la relación de recurrencia para $q_n$ es el de los números de Fiboniacci. Uno debe ser capaz de expresar $q_n$ y por lo tanto $p_n$ en términos de números de Fibonacci. Desde $a_1 = 1$ , podemos tomar

{pag}_{1} = q_{1} = 1 ⟺ q_{0} = q_{1} = 1

$p_1 = q_1 = 1 \quad\iff\quad q_0 = q_1 = 1$ Ahora

F_{1} = F_{2} = 1

$F_1 = F_2 = 1$ , nos sugiere escoger

{\begin{cases} {pag}_{norte} & = F_{norte}, \\ q_{norte} & = F_{norte + 1} \end{cases} ⟺ a_{norte} = \frac{F_{norte}}{F_{norte + 1}}

$\begin{cases}p_n &= F_n,\\ q_n &= F_{n+1}\end{cases} \quad\iff\quad a_n = \frac{F_n}{F_{n+1}}$ Hasta este punto, no hemos probado

a_{n}

$a_n$ viene dada por la expresión anterior. Sólo tenemos un ansatz de lo que

a_{n}

$a_n$ debiera ser. Por sustitución directa, podemos verificar que este ansatz satisface la relación de recurrencia original.

a_{1} = \frac{F_{1}}{F_{2}} = 1 y a_{norte + 1} = \frac{F_{norte + 1}}{F_{norte + 2}} = \frac{F_{norte + 1}}{F_{norte + 1} + F_{norte}} = \frac{1}{1 + \frac{F_{norte}}{F_{norte + 1}}} = \frac{1}{1 + a_{norte}}

$a_1 = \frac{F_1}{F_2} = 1\quad\text{ and }\quad a_{n+1} = \frac{F_{n+1}}{F_{n+2}} = \frac{F_{n+1}}{F_{n+1} + F_{n}} = \frac{1}{1 + \frac{F_n}{F_{n+1}}} = \frac{1}{1 + a_n}$

+1 por resolver mi problema. Como lo hiciste en un comentario, estoy rompiendo las reglas y votando aquí :)
@ user135711 gracias, espero que esta respuesta sea al menos digna de ser votada. Por cierto, no hagas esto la próxima vez o algún mod se ejecutará después de ti ;-p
Me gustó tanto lo que hiciste aquí que seguí adelante y apliqué tu idea al caso más general. $f_{n+1} = \frac{1}{a+bf_n}$ . Funcionó bastante bien, aunque es un poco más complicado. Esto implicó formas más generalizadas de la secuencia de Fibonacci, como he descrito aquí math.stackexchange.com/questions/2301198/… , por ejemplo.
@CyeWaldman gracias, me alegra que encuentre útil la idea. Por cierto, sobre la respuesta que vinculaste, te olvidas de tratar el caso especial $\alpha = \beta$ .
@achillehui Esa es una pregunta justa. Puede suceder fácilmente si $b=-a^2/4$ . Al principio pensé que sería una situación imposible pero no lo es. Resulta tener solo el término de tipo Lucas y admite una sola condición inicial. La razón de ello es que el término tipo Fibonacci tiende a cero cuando, digamos, $\beta\to\alpha$ porque $\alpha-\beta$ divide $\alpha^n-\beta^n$ . el que te queda $f_n=(af_0/2)L_n=(af_0/2)\alpha^{n-1}$ .
@CyeWaldman Hmm... cuando $\alpha \to \beta$ , creo que uno debería reemplazar $F_n$ por $n\alpha^{n-1}$ en lugar de $0$ . De esa forma, la fórmula $f_n = \left(f_1 - \frac{af_0}{2}\right)n\alpha^{n-1} + \left(\frac{af_0}{2}\right)\alpha^{n-1}$ reproducirá el valor correcto en $n = 0, 1, 2$ .
@achillehui Sí, en realidad estoy reconsiderando esto ahora mismo. Tengo que reconsiderarlo y mirar la expansión binomial de $F_n$ cuando divides el denominador. Continuará. (¿Alguna vez me separaré de esta computadora?)
@achillehui Oye, he verificado tu solución para $\alpha=\beta$ . Muchas gracias, ha sido un ejercicio interesante por todos lados.

miguel rozenberg · Answer 2

por inducción $a_n=\frac{F_n}{F_{n+1}}$ porque $a_1=\frac{F_1}{F_2}=1$ y

a_{norte + 1} = \frac{1}{1 + a_{norte}} = \frac{1}{1 + \frac{F_{norte}}{F_{norte + 1}}} = \frac{F_{norte + 1}}{F_{norte + 2}} .

$a_{n+1}=\frac{1}{1+a_n}=\frac{1}{1+\frac{F_n}{F_{n+1}}}=\frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}.$

$\{F_n\}:1,1,2,3,5,...$ .

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