¿Cómo pueden las ondas transversales en una cuerda llevar un momento longitudinal?

Una derivación falsa

Podemos calcular con bastante facilidad una velocidad horizontal para la cuerda si suponemos que el vector de velocidad total es normal en todas partes a la cuerda (esta suposición no siempre es válida, véase más abajo). La siguiente imagen ilustra el cálculo:

Tome dos puntos infinitesimalmente separados$x$y$x+\mathrm{d}x$y sea el movimiento ondulatorio$\varphi(x,t)$. La velocidad vertical/transversal es$v_\text{vert} = \partial_t \varphi(x,t)$, y la componente horizontal es$v_\text{hor} = -v_\text{vert}\tan(\vartheta)$, donde$\vartheta$es el ángulo entre la normal y la vertical, y el signo menos es porque si medimos$\vartheta$en la dirección antihoraria habitual, entonces la velocidad horizontal apunta a$-x$Para pequeños$\vartheta$. Ahora$\tan(\vartheta)$es$\frac{\varphi(x+\mathrm{d}x) - \varphi(x)}{\mathrm{d}x} = \partial_x\varphi(x)$, por lo que obtenemos

$$v_\text{hor} = -\partial_t\varphi\partial_x\varphi$$ y si conecta la solución sinusoidal y toma el promedio de tiempo, obtiene exactamente el mismo resultado que para las ondas longitudinales. Sin embargo, es posible que protexte: la ecuación de onda transversal se derivó asumiendo que no hay movimiento longitudinal, y este cálculo simplemente asume descaradamente algo diferente.

Una derivación lagrangiana

Por extraño que parezca, el resultado del cálculo anterior es el momento correcto para una onda transversal pura. El lagrangiano de una onda transversal es

$$L = \frac{1}{2}\rho (\partial_t\varphi)^2 - \frac{1}{2}\tau(\partial_x\varphi)^2$$ y la invariancia de traslación nos da una densidad de momento $$T_{xt} = \partial_x L \partial_t \varphi = - \rho\partial_x\varphi\partial_t\varphi$$ que se conserva por el teorema de Noether.

la respuesta real

En realidad, no hay ondas puramente transversales en una cuerda, siempre habrá ondas longitudinales secundarias generadas al intentar excitarla puramente transversalmente. El impulso "verdadero" de una onda "transversal" realista es más bien la mitad de la predicción teórica, es decir$\frac{1}{2}\rho\partial_t\varphi\partial_x\varphi$, para obtener más información sobre esto, consulte "El misterio del momento de la ola faltante" [enlace en pdf] de Rowland y Pask.

Tienes toda la razón en todo lo que dices. El impulso es distinto de cero solo si la onda tiene un modo longitudinal, que es de hecho el caso realista. Además, cuando este es el caso, la ecuación de onda no es tan simple. Déjame intentar mostrar esto.

Modo longitudinal

Supongamos que en equilibrio la cuerda, de densidad$\mu$, está junto con el$x\equiv x_1$eje y tiene tensión$T_0$. El desplazamiento general de la cuerda es

$$\vec \xi(x_1,t)=\xi_1(x_1,t)\vec e_1+\xi_2(x_1,t)\vec e_2\equiv\xi_i(x_1,t)\vec e_i.$$ Una pequeña sección $ds$de la cuerda es actuada por una fuerza $$d\vec T=\frac{\partial\vec T}{dx_1}dx_1=\mu dx_1\frac{\partial^2\vec\xi}{dt^2},$$ por la segunda ley de Newton. La magnitud de $\vec T$es $T_0$más un incremento proporcional a la cantidad estirada $$\frac{ds-dx_1}{dx_1}=\frac{ds}{dx_1}-1.$$ Si la cuerda tiene área de sección transversal $A$y módulo de Young $Y$, el incremento de tensión es $$AY\left(\frac{ds}{dx_1}-1\right).$$ Por lo tanto $$\vec T=\left[T_0+AY\left(\frac{ds}{dx_1}-1\right)\right]\frac{d\vec s}{ds}$$ donde $d\vec s$se dirige a lo largo $ds$. Tenemos $$d\vec s=(d\xi_1+dx_1)\vec e_1+d\xi_2\vec e_2,$$ $$ds=\sqrt{\left(1+\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)^2+\left(\frac{\partial\xi_2}{\partial x_1}\right)^2}dx_1$$ Como puede ver, cuando conectamos $\vec T$de vuelta a la ecuación de movimiento obtenemos tres ecuaciones diferenciales parciales no lineales y acopladas (¿Aunque no es así?). Para simplificar, supongamos pequeños desplazamientos, es decir $$\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\approx\frac{\partial\xi_2}{\partial x_1}\ll 1.$$ El objetivo ahora es ampliar $\vec T$hasta primer orden en $\frac{d\xi_i}{dx_1}$. Primero aviso que $$\frac{ds}{dx_1}-1=\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}+O((\partial\xi_1/\partial x_1)^2).$$ Después $$\begin{align} \vec T&\approx\frac{\left(T_0+AY\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)\left(\vec e_1+\frac{\partial\xi_i}{\partial x_i}\vec e_i\right)}{\sqrt{\left(1+\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)^2+\left(\frac{\partial\xi_2}{\partial x_2}\right)^2}},\\ &\approx\left(1-\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)\left(T_0+AY\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)\left(\vec e_1+\frac{\partial\xi_i}{\partial x_i}\vec e_i\right),\\ &\approx\left(T_0+AY\frac{\partial\xi_1}{\partial x_1}\right)\vec e_1+T_0\frac{\partial\xi_2}{\partial x_1}\vec e_2. \end{align}$$ Reemplazando esto en la ecuación de movimiento obtenemos dos ecuaciones de onda, $$\frac{\partial^2\xi_i}{\partial t^2}=c_i^2\frac{\partial^2\xi_i}{\partial x_1^2},$$ cuyas velocidades son $$c_1=\sqrt{AY/\mu},\quad c_2=\sqrt{T_0/\mu}.$$ Observe que si se desprecia el coeficiente de Young (elástico) de la cuerda, el modo longitudinal desaparece. Observe también que la velocidad de la onda longitudinal es, en general, mayor que la velocidad de la onda transversal, ya que los valores típicos del módulo de Young son, en general, grandes. $Y\sim 10^{9}\, Pa$. Para una cadena de área $A\sim 10^{-4}\, m^2$obtenemos $$\frac{c_1}{c_2}\sim\sqrt{\frac{10^5}{T_0}}.$$

Momento longitudinal

En este post se calcula la densidad de energía potencial de una cuerda (recuerda$\xi_2$es el desplazamiento transversal),

$$U=\frac{T_0dx}{2}\left(\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\right)^2.$$ Entonces la " densidad de fuerza " en la dirección longitudinal es $$f_1=-\frac{\partial U}{\partial x_1}=-T_0\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\frac{\partial^2 \xi_2}{\partial x_1^2}.$$ llamemos $p_1$la " densidad de momento " en la dirección longitudinal. Después $$\frac{dp_1}{dt}=-T_0\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\frac{\partial^2 \xi_2}{\partial x_1^2}=-\mu\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\frac{\partial^2\xi_2}{\partial t^2},$$ donde usamos la ecuación de onda. Integrando por partes (en el tiempo) finalmente obtenemos la densidad de cantidad de movimiento $$p_1=-\mu\frac{\partial \xi_2}{\partial x_1}\frac{\partial\xi_2}{\partial t}.$$

I) Ya hay varias buenas respuestas. OP está preguntando sobre el momento de la cuerda no relativista con solo desplazamientos transversales, cuya densidad lagrangiana generalmente se da como

$${\cal L}_T ~:=~\frac{\rho}{2} \dot{\eta}^2 - \frac{\tau}{2} \eta^{\prime 2} \tag{1}$$

en los libros de texto.

II) Arreglemos la notación:$\rho$es la densidad de masa 1D;$\tau$es la tensión de la cuerda;$Y$es el módulo de Young 1D; punto denota un wrt derivado.$x^0\equiv t$; prime denota un derivado wrt.$x^1\equiv x$;$\xi$es el desplazamiento longitudinal en el$x$-dirección; y$\eta$es el desplazamiento transversal en el$y$-dirección.

III) En primer lugar, tenga en cuenta que el tensor canónico de tensión-energía-momento (SEM) $T^{\mu}{}_{\nu}$(que contiene la densidad de momento$T^0{}_1$) es un pull-back to the world sheet (WS), que identificamos con el$(x,t)$-avión. Por lo tanto, la dirección del impulso a menudo se identifica con la dirección longitudinal.$x$-dirección, incluso si las vibraciones del espacio objetivo físico (TS) están en la dirección transversal$y$-dirección.

En segundo lugar, tenga en cuenta que ya para el modelo de onda longitudinal (conceptualmente más simple)

$${\cal L}_L ~:=~\frac{\rho}{2} \dot{\xi}^2 - \frac{Y}{2} \xi^{\prime 2}, \tag{2}$$

(menos) la densidad de momento canónico

$$T^0{}_1~=~\rho\dot{\xi}\xi^{\prime} \tag{3}$$

es diferente de la densidad del momento cinético$\rho\dot{\xi}$. Esto está relacionado con el hecho de que el modelo (2) está construido para describir excitaciones de onda de la cuerda, no traducciones generales de las mismas. El mensaje para llevar es que no es necesariamente algo útil tratar de igualar el momento canónico y el momento cinético. (Y en particular, la Ref. 1 no logra esto. Además, la Ref. 1 solo analiza las excitaciones quirales, es decir, un motor a la izquierda o un motor a la derecha, pero no una superposición de los mismos, lo cual es incompleto para una teoría no lineal. )

Baste decir que los diferentes momentos pueden tratarse y entenderse por separado, y que existen leyes de conservación asociadas con ambos tipos de momentos. La conservación del momento cinético se deriva de las leyes de Newton, mientras que la conservación del momento canónico es consecuencia de la simetría de traslación, cf. El teorema de Noether . En esta respuesta, nos centraremos en obtener un modelo físico más realista de la onda transversal que la densidad lagrangiana (1).

IV) Nuestro punto de partida es la simple observación de que para una cuerda no estirable$Y \gg \tau$, un pequeño desplazamiento transversal

$$\eta~=~{\cal O}(\varepsilon),\tag{4}$$

donde$\varepsilon \ll 1$, debe ir acompañada de un desplazamiento longitudinal

$$\xi~=~{\cal O}(\varepsilon^2),\tag{5}$$

cf. Figura 1 a continuación.

$\uparrow$Fig. 1. Un desplazamiento de diente de sierra transversal infinitesimal$\varepsilon\ll 1$de una cuerda no estirable debe ir acompañada de un desplazamiento longitudinal$\frac{\varepsilon^2}{2}$.

V) Concluimos que un modelo realista para excitaciones transversales$\eta$debe incluir la posibilidad de desplazamientos longitudinales$\xi$también. Por lo tanto, consideremos la densidad lagrangiana

$$\begin{align} {\cal L}~:=~&{\cal T}-{\cal V}, \cr {\cal T}~:=~&\frac{\rho}{2}\left(\dot{\xi}^2+\dot{\eta}^2\right),\end{align}\tag{6}$$

donde la densidad potencial${\cal V}$debe estar dada por la ley de Hooke . Dejar

$$\begin{align} s^{\prime} ~=~& \sqrt{(1+\xi^{\prime})^2 +\eta^{\prime 2} }\cr ~=~&1+\xi^{\prime} +\frac{\eta^{\prime 2}}{2} -\frac{\xi^{\prime}\eta^{\prime 2}}{2} -\frac{\eta^{\prime 4}}{8} +{\cal O}(\varepsilon^5)\end{align} \tag{7}$$

sea ​​la derivada de la longitud del arco$s$wrt. la$x$-coordinar. Modulo posibles términos derivados totales, la densidad potencial${\cal V}$debe ser de la forma

$$\begin{align}{\cal V}~=~&\frac{k}{2} \left( s^{\prime}-a\right)^2 \cr ~=~& \frac{k}{2} (s^{\prime }-1)^2 + k(1-a) (s^{\prime}-1) \cr &+ \frac{k}{2} (1-a)^2 \end{align}\tag{8}$$

para constantes de material adecuadas$k$y$a$, cf. Árbitro. 1. Como será evidente a continuación, debemos identificar las dos constantes$k$y$a$como

$$k ~=~Y+\tau \quad\text{and}\quad \tau~=~ k(1-a). \tag{9}$$

Por lo tanto, la densidad potencial (8) se convierte en

$$\begin{align}{\cal V}~\stackrel{(8)+(9)}{=}&~ \frac{Y+\tau}{2} (s^{\prime }-1)^2 +\tau (s^{\prime}-1) \cr &+\frac{\tau^2}{2(Y+\tau)} \cr ~\stackrel{(7)}{=}~& \tau\left(\xi^{\prime} +\frac{\eta^{\prime 2}}{2} +\frac{\xi^{\prime 2}}{2} \right) \cr &+ \frac{Y}{2}\left(\xi^{\prime} +\frac{\eta^{\prime 2}}{2} \right)^2 +{\cal O}(\varepsilon^5) \cr &+\frac{\tau^2}{2(Y+\tau)}.\end{align}\tag{10}$$

Manteniendo solo los términos en orden cuártico y descartando los términos derivados totales y los términos constantes, la densidad potencial es

$${\cal V}_4~:=~ \frac{\tau}{2}\left(\xi^{\prime 2} +\eta^{\prime 2}\right) +\frac{Y}{2}\chi^2 ,\tag{11}$$

donde hemos definido la notación abreviada

$$\chi~:=~\xi^{\prime} +\frac{\eta^{\prime 2}}{2} .\tag{12}$$

El potencial cuartico (11) es sorprendentemente simple. Para una cuerda no estirable$Y\gg\tau$, reconocemos en la ec. (11) la restricción

$$\chi~\approx~0 ,\tag{13}$$

que está en el corazón de la Fig. 1. La restricción (13) implica que una excitación transversal (4) al primer orden en$\varepsilon$induce una excitación longitudinal (5) de segundo orden en$\varepsilon$. Como veremos más adelante, incluso una cuerda estirable tiene afinidad por la restricción (13).

VI) Aparte, podemos reescribir el potencial cuártico (11) como un potencial cúbico

$${\cal V}_3~:=~ \frac{\tau}{2}\left(\xi^{\prime 2} +\eta^{\prime 2}\right) -\frac{B^2}{2Y} + B\chi, \tag{14}$$

donde$B$es un campo auxiliar. La ecuación de Euler-Lagrange (EL) para$B$es

$$B ~\approx~Y\chi.\tag{15}$$

Las ecuaciones EL para$\xi$y$\eta$leer

$$\begin{align} \rho \ddot{\xi}~\stackrel{(14)}{\approx}~& \tau\xi^{\prime\prime} + B^{\prime}\cr ~\stackrel{(12)+(15)}{\approx}&~ (\tau+Y)\xi^{\prime\prime} + Y \eta^{\prime}\eta^{\prime\prime},\end{align}\tag{16}$$ $$\begin{align} \rho \ddot{\eta}~\stackrel{(14)}{\approx}~& \tau\eta^{\prime\prime} +\left(B\eta^{\prime}\right)^{\prime}\cr ~\stackrel{(12)+(15)}{\approx}&~ \tau\eta^{\prime\prime}+\frac{3Y}{2}\eta^{\prime 2}\eta^{\prime\prime} + Y(\xi^{\prime}\eta^{\prime})^{\prime},\end{align}\tag{17}$$

respectivamente.

VII) Si integramos el$B$-campo en el potencial cúbico (14),

$${\cal V}_3\quad\stackrel{B}{\longrightarrow}\quad{\cal V}_4,\tag{18}$$

recuperamos el potencial cuartico (11). Las ecuaciones EL (16) y (17) se convierten en

$$\begin{align}\Box_L\xi~:=~& \ddot{\xi}- c_L^2 \xi^{\prime\prime}\cr ~\approx~& \frac{Y}{\rho} \eta^{\prime}\eta^{\prime\prime}\cr ~=~& (c_L^2-c_M^2) \eta^{\prime}\eta^{\prime\prime},\end{align}\tag{19}$$ $$\begin{align}\Box_M\eta~:=~& \ddot{\eta}- c_M^2 \eta^{\prime\prime}\cr ~\approx~& \frac{Y}{\rho}\left( \chi \eta^{\prime}\right)^{\prime}\cr ~=~& (c_L^2-c_M^2)\left( \chi \eta^{\prime}\right)^{\prime},\end{align}\tag{20}$$

donde hemos definido dos velocidades

$$c_M^2~:=~\frac{\tau}{\rho}\quad\text{and}\quad c_L^2~:=~\frac{Y+\tau}{\rho}.\tag{21}$$

Consideremos únicamente las ondas que se mueven hacia la izquierda. Un análisis directo muestra que las ecuaciones EL (19) y (20) tienen dos modos de viaje:

1. Un más rápido puramente longitudinal$L$-modo$\xi_L(x\!-\!c_Lt)$con$\eta_L(x\!-\!c_Lt)\approx 0$(lo que viola formalmente la restricción (13), pero recuerde la ecuación (5)).

2. Una mezcla más lenta$M$-modo$\xi_M(x\!-\!c_Mt)$y$\eta_M(x\!-\!c_Mt)$que satisface la restricción$\chi_M(x\!-\!c_Mt) \approx 0$en la ec. (13).

VIII) Los dos modos de viaje$L$y$M$son independientes en el sentido de que pueden atravesarse entre sí. Sin embargo, la creación (y aniquilación) del$M$-modo no son independientes de la$L$-modo. La restricción (13) tiene un efecto desequilibrado: un desplazamiento transversal siempre está asociado con una retracción longitudinal. Recuerde que si imponemos condiciones de contorno de Dirichlet en los extremos espaciales de la cuerda, entonces no es posible una retracción longitudinal general. La creación (y aniquilación) de un$M$Por lo tanto, el modo debe excitar una compensación más rápida.$L$-modo que contrarresta la componente longitudinal de la$M$-modo. Ver ref. 1 para más detalles.

IX) Finalmente, es interesante tratar de integrar el campo longitudinal$\xi$en el modelo cuártico (11). Podemos resolver la ec. (19) para el campo longitudinal

$$\begin{align}\xi~\approx~& \frac{Y}{2\rho}\int \! dt^{\prime}dx^{\prime}~G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})\frac{d}{dx^{\prime}}\eta^{\prime}(x^{\prime},t^{\prime})^2 \cr~\stackrel{\text{int. by parts}}{=}&~\frac{Y}{2\rho}\int \! dt^{\prime}dx^{\prime}\left\{-\frac{d}{dx^{\prime}}G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})\right\}\eta^{\prime}(x^{\prime},t^{\prime})^2\end{align}\tag{22}$$

introduciendo una función de Green$G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})$y coordenadas del cono de luz

$$\begin{align} x^{\pm} ~:=~& t \pm \frac{x}{c_L}, \cr \Delta x^{\pm} ~:=~& \Delta t \pm \frac{ \Delta x}{ c_L}, \cr \Delta t ~:=~& t - t^{\prime}, \cr \Delta x ~:=~& x - x^{\prime}.\end{align}\tag{23}$$

Entonces el D'Alembertiano en 1+1D se convierte en

$$\Box_L ~=~ 4\partial_+\partial_-\tag{24}.$$

La función de Green $G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})$satisface por definición

$$\begin{align}\Box_L G(x,t;x^{\prime},t^{\prime}) ~=~& \delta(\Delta t)\delta(\Delta x)\cr ~=~& \frac{2}{c_L} \delta(\Delta x^+)\delta(\Delta x^-).\end{align}\tag{25}$$

La función de Green retrasada es

$$G_{\rm ret}(x,t;x^{\prime},t^{\prime}) ~=~ \frac{1}{2c_L}\theta(\Delta x^+)\theta(\Delta x^-).\tag{26}$$

Sin embargo, para lograr una formulación lagrangiana (30) para el$\xi$-teoría cuartica reducida (11), deberíamos usar la función de Green simetrizada

$$\begin{align} G(x,t;x^{\prime},t^{\prime})~=~&\frac{1}{2} G_{\rm ret}(x,t;x^{\prime},t^{\prime})\cr &+\frac{1}{2} G_{\rm ret}(x^{\prime},t^{\prime};x,t).\end{align}\tag{27}$$

Es conveniente introducir la notación

$$\begin{align} K&(x,t; x^{\prime},t^{\prime}) \cr ~:=~& -\frac{d}{dx}\frac{d}{dx^{\prime}}G(x,t;x^{\prime},t^{\prime}) \cr ~=~& -\frac{1}{4c_L}\frac{d}{dx}\frac{d}{dx^{\prime}}\left[\theta(\Delta x^+)\theta(\Delta x^-) + \theta(-\Delta x^+)\theta(-\Delta x^-)\right]\cr ~=~& -\frac{1}{8c_L}\frac{d}{dx}\frac{d}{dx^{\prime}}\left[{\rm sgn}(\Delta x^+){\rm sgn}(\Delta x^-)\right].\end{align}\tag{28}$$

Entonces la derivada$\xi^{\prime}$del campo longitudinal viene dado simplemente por

$$\xi^{\prime} (x,t) ~\approx~ \frac{Y}{2\rho} \int \! dt^{\prime}~dx^{\prime}~K(x,t;x^{\prime},t^{\prime}) ~\eta^{\prime}(x^{\prime},t^{\prime})^2.\tag{29}$$

Finalmente, somos capaces de escribir una acción

$$\begin{align} S_4 ~\stackrel{\xi}{\longrightarrow}&~ \int \! dt~dx \left(\frac{\rho}{2}\dot{\eta}^2-\frac{\tau}{2}\eta^{\prime 2} -\frac{Y}{8} \eta^{\prime 4}\right) \cr -&\frac{Y^2}{8\rho} \int dt~dx~dt^{\prime}dx^{\prime}~\cr &\eta^{\prime}(x,t)^2 ~K(x,t;x^{\prime},t^{\prime})~ \eta^{\prime}(x^{\prime},t^{\prime})^2\end{align}\tag{30}$$

Para el$\xi$-Teoría de la cuarta reducida (11). Es fácil comprobar que la ecuación EL correspondiente para$\eta$es la ecuación (17), donde$\xi^{\prime}$en el lado derecho de la ec. (17) viene dada por la ec. (29).

La acción (30) es bilocal, lo que se espera. (¡En el lado positivo, al menos la acción (30) no depende de derivados de espacio-tiempo más altos!) Sin embargo, la naturaleza no local desafía el concepto de un tensor SEM (y, por lo tanto, la densidad de momento canónico, que fue lo que OP preguntó originalmente acerca de). Todavía es posible derivar las leyes de conservación de Noether asociadas con la simetría de traslación WS, pero no nos ocuparemos de esto aquí.

Referencias:

1. DR Rowland y C. Pask, El misterio del momento de la onda faltante, Am. J. física. 67 (1999) 378 . (Consejo de sombrero: ACuriousMind.)

Este problema perenne se debe a que no se distingue entre el momento newtoniano (la cantidad conservada obtenida mediante el teorema de Noethers a partir de la invariancia del sistema bajo una traslación simultánea de la cuerda y las ondas sobre ella) y el pseudomomento (la cantidad conservada obtenida mediante el teorema de Noethers). teorema de una invariancia del sistema bajo la traslación de las ondas, mientras que la cuerda en sí no se traslada) El pseudomomento está dado por$-\rho \partial_x y \partial_t y$. Se conserva sólo si la densidad de la cuerda es independiente de$x$. La conservación del pseudomentum se puede derivar de la ecuación de onda que no requiere conocimiento de constantes elásticas como el módulo de Young.

Cualquier perturbación real de la cuerda también excitará ondas longitudinales que viajan a una velocidad que depende del módulo de Young. Esto se explica en el artículo de McIntyre mencionado anteriormente. Peierls también lo analiza en su libro "sorpresas en física teórica" ​​bajo el título "cuál es el momento de un fonón". Resulta que el pseudomentum es más útil que el momento newtoniano real, ya que son los cambios en el pseudomentum los que corresponden a las fuerzas.

Consulte mi artículo "Fonones y fuerzas: momento frente a pseudomomento en fluidos en movimiento", arXiv:cond-mat/0012316 .