Ondas no estacionarias en cuerdas

Mi problema es el siguiente: suponiendo que tenemos una cadena (homogénea, sin pérdida de energía), con una velocidad de propagación dada: C .

Sea el origen (la fuente) de la onda en X = 0 , por lo que la onda incidente (directa) estará en forma de

ψ i ( X , t )   =   pecado ⁡ ( ω t − k X ) .
La fuente es sinusoidal.

En el otro extremo de la cuerda (en X = L ), hay un final fijo, sin pérdida de energía. En este punto la diferencia de fase es k ∗ L . La fuente de la onda reflejada está en el X = L punto, la distancia desde la nueva fuente es L − X , por lo que la onda reflejada estará en forma de

ψ r ( X , t )   =   − pecado ⁡ ( ω t − k L − k L + k X )   =   − pecado ⁡ ( ω t + k X − 2 k L ) .

Sumando la onda incidente y la reflejada, tenemos

ψ ( X , t )   =   2 porque ⁡ ( ω t − k L ) pecado ⁡ ( − k X − k L ) ,
utilizando la identidad trigonométrica
pecado ⁡ ( a ) − pecado ⁡ ( b )   =   2 porque ⁡ ( a + b 2 ) pecado ⁡ ( a − b 2 ) .

El problema: esta función de onda ψ siempre será una onda estacionaria, independientemente de la longitud de onda, sin embargo, la experiencia demuestra que sólo λ = norte ∗ 2 ∗ L longitudes de onda generan ondas estacionarias.

El ψ ( X , t ) = 2 porque ⁡ ( ω t − k L ) pecado ⁡ ( − k X − k L ) es parecido a porque ⁡ ( ω t ) pecado ⁡ ( k X ) , la única diferencia es el desplazamiento de fase.

¿Dónde está el error en la derivación?

Pero, ¿ha considerado lo que le sucede a la onda reflejada cuando llega al 'extremo fuente' de la cuerda, y así sucesivamente? Habrá interferencia entre un número infinito de ondas. No es tan difícil manejarlo matemáticamente, pero es más fácil si pierde una pequeña fracción de la amplitud en cada reflexión.
Si su fuente hace vibrar un extremo de la cuerda, entonces ese extremo ya no está fijo y las condiciones normales de onda estacionaria (que suponen dos extremos fijos) no se aplican.

Respuestas (1)

Ha comenzado con una onda viajera derecha incidente.

ψ i ( X , t ) = pecado ⁡ ( ω t − k X )

y le agregó una onda viajera izquierda que representa la onda reflejada

ψ r ( X , t ) = pecado ⁡ ( ω t + k X + ϕ )

teniendo en cuenta que aún no conoce la relación de fase entre esas dos ondas.

Luego sumaste las dos ondas para representar su superposición.

ψ i ( X , t ) + ψ r ( X , t ) = pecado ⁡ ( ω t − k X ) + pecado ⁡ ( ω t + k X + ϕ ) = 2 porque ⁡ ( k X + ϕ 2 ) pecado ⁡ ( ω t + ϕ 2 )

y luego estableció una restricción que era que en X = L la suma de la onda incidente y la onda reflejada fue cero todo el tiempo.

2 porque ⁡ ( k L + ϕ 2 ) pecado ⁡ ( ω t + ϕ 2 ) = 0

Una solución es que k L + ϕ 2 = π 2 ⇒ ϕ = π − 2 k L

Poniendo este valor de ϕ en la suma de las dos ondas da

ψ i ( X , t ) + ψ r ( X , t ) = 2 porque ⁡ ( k X − k L + π 2 ) pecado ⁡ ( ω t − k L + π 2 )

que ciertamente tiene todas las características de una onda estacionaria para todos los valores de k y longitud de onda λ = 2 π k

Veamos qué está pasando en X = 0

ψ i ( 0 , t ) + ψ r ( 0 , t ) = 2 porque ⁡ ( − k L + π 2 ) pecado ⁡ ( ω t − k L + π 2 )

En esta posición, la amplitud de las ondas combinadas es 2 porque ⁡ ( − k L + π 2 ) que no es cero.

Si desea que la suma sea cero en X = 0 entonces tienes que incluir una segunda restricción que, por ejemplo, podría ser

− k L + π 2 = − π 2 ⇒ k L = π ⇒ L = λ 2

Entonces, un reflejo perfecto siempre producirá una onda estacionaria, pero si luego requiere que haya un nodo en una determinada posición, solo ciertas longitudes de onda pueden satisfacer esa condición.

PD - ¡Por favor revise Matemáticas ya que hay un amplio margen de error de mi parte!

Esencialmente, la solución general tiene dos parámetros, el ángulo de fase de la onda reflejada y la longitud de onda (frecuencia) de las ondas estacionarias. Las condiciones de contorno en los dos extremos fijan ambos parámetros, pero si los BC se definen solo en un extremo, solo se puede fijar la fase. ¿Es este un resumen correcto?
Creo que son correctos.
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