Derivación de la velocidad de onda transversal para amplitudes pequeñas

ingrese la descripción de la imagen aquí

Lo anterior es una derivación de la ecuación de velocidad de onda en mi libro de texto de física. Sin embargo, he leído en línea que esta ecuación solo es cierta para ondas con amplitudes pequeñas. No veo dónde se hace esta suposición en la derivación, entonces, ¿por qué la ecuación solo es cierta para amplitudes pequeñas?

ingrese la descripción de la imagen aquí

La imagen de arriba muestra que la fuerza de restauración vertical debe ser 2*T*sin(phi)

Respuestas (2)

La explicación no es muy completa. Como observa correctamente, está tomando un límite, por lo que la suposición pecado ⁡ θ → θ como d z → 0 se vuelve exacto. Entonces, la ecuación 16-23 no contiene ninguna aproximación.

La suposición se desliza sutilmente cuando se supone que la fuerza calculada en la ecuación 16-23 forma ángulos rectos con la z eje. Eso es eso d y / d z es pequeño, de modo que la normal a la tangente a la curva permanece aproximadamente vertical en el diagrama. La mejor manera de entender todo esto es elaborar una ecuación más precisa; entonces la componente vertical de la fuerza que restaura la pequeña longitud d s de cuerda es

T ∂ θ porque ⁡ θ = d s T ∂ θ ∂ s porque ⁡ θ = d s T ∂ 2 y ∂ z 2 1 ( 1 + ( ∂ y ∂ z ) 2 ) 2

(recordando que ∂ θ ∂ s es la curvatura de la cuerda y luego usando la fórmula para la curvatura) y ENTONCES se aproxima a eso ∂ y ∂ z ≪ 1 y, de manera equivalente, que d z = d s . La aproximación de pequeña amplitud es entonces indirecta: estamos asumiendo directamente pequeños gradientes, que implican y están implícitos en pequeñas amplitudes, dado que sabemos que la longitud de onda es limitada.

¿ Cómo obtuviste la ecuación inicial T dtheta cos(theta)? Para el último paso, ¿debería elevarse el denominador a la potencia de 3/2? ¿Reemplazaste cos(theta) con cos(0) ya que theta es pequeño? ¿No podemos hacer que la fuerza forme un ángulo recto con el eje z haciendo que ds sea pequeño? Sabemos que la tangente en el medio es plana, por lo que la fuerza de tensión será aproximadamente plana si permanecemos cerca del medio, ¿verdad?
La fórmula es simplemente la misma que 16-23 en su texto con un porque ⁡ θ agregado para tener en cuenta el hecho de que la fuerza no es perfectamente vertical sino sesgada por el gradiente de la cuerda. Y tienes razón en lo de los desaparecidos. 3 / 2 poder, ahora lo he vuelto a poner en todo su esplendor (multiplica el porque ⁡ θ factor para convertirse en la potencia de dos ahora en el denominador en el RHS). Además, no puede hacer que la fuerza forme ángulos rectos en todos los puntos: recuerde que se supone que la cuerda es perfectamente flexible, lo que significa que no puede resistir el corte y solo puede impartir tensión a lo largo de su tangente.
¿El pecado (theta) en el libro de texto ya no explica el sesgo?
@roobee No, simplemente mide la longitud del arco. Probablemente debería haber usado un símbolo diferente de θ ; en el libro es simplemente el ángulo subtendido por la sección de cuerda en el centro de curvatura, y deberíamos usar un segundo símbolo, digamos ϕ , para medir el sesgo.
He añadido una imagen en mi pregunta. He reemplazado theta con phi. Muestra que la componente vertical de la fuerza es 2*T*sin(phi), entonces, ¿eso no muestra que sin(phi) representó el sesgo?

De buenas a primeras en la ecuación (16-23) se supone que la fuerza restauradora es lineal en el desplazamiento. Eso solo es cierto para pequeños desplazamientos.

¿Te refieres a donde sin (theta) cambia a theta? Si es así, pensé que era porque theta era pequeña debido a que el segmento era pequeño, y no porque la amplitud fuera pequeña.
No no soy. Me refería a la aproximación que τ se toma como una constante, mientras que sabemos que la tensión aumentará a medida que se estira la cuerda. Sin embargo, como puede ver ahora, hay más que eso.
Derivación de la velocidad de onda transversal para amplitudes pequeñas
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v