Resolver una ecuación de onda (ecuaciones diferenciales parciales) [cerrado]

La técnica de separación de variables funciona bien. ¿Cuál es el problema que tienes con eso? Sus condiciones de contorno/iniciales son correctas, excepto por la última: mencionó que la cuerda está en reposo al principio, por lo que$g(x)=0.$La ecuación se resuelve fácilmente por el método de separación de variables. Funciona de la siguiente manera: primero encuentra una solución general a la ecuación (olvidando la condición inicial) con sus condiciones de contorno de la forma$y(x,t)=X(x)T(t).$Encontrará que hay infinitas soluciones posibles de este tipo,$y_1(x,t)=X_1(x)T_1(t), \hspace{2mm} y_2(x,t)=X_2(x)T_2(t),\ldots, y_n(x,t)=X_n(x)T_n(t), \ldots$Luego, dado que su ecuación es lineal y, por lo tanto, cualquier superposición lineal de soluciones sigue siendo una solución, escribe un Ansatz para la solución del problema con condiciones iniciales como:

$$y(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n X_n(x)T_n(t),$$ dónde $a_{n}$son algunos coeficientes que tienes que ajustar para que $y(x,0)=f(x)$y $\dfrac{\partial y(x,t)}{\partial t} \vert_{t=0}=0.$

Para lo que sigue, escribiré sólo$X$y$T$en lugar de$X(x)$y$T(t)$y se implicará que los derivados$X'$y$T'$son, por supuesto, con respecto a las variables$x$y$t$respectivamente. En tu problema concreto, la ecuación es$y_tt=y_xx-2by_t,$y presentando el Ansatz$y=XT$obtenemos:

$$XT''=TX''-2bXT'$$ reordenando esto un poco tenemos: $$\dfrac{T''+2bT'}{T}=\dfrac{X''}{X}$$ Y aquí viene la idea crucial de la técnica de separación de variables. Dado que el lado izquierdo solo depende de $t$y el lado derecho solo depende de $x,$concluimos que ambas expresiones deben ser iguales a cierta constante $K.$Por lo tanto, hemos reducido nuestro problema de Ecuaciones Diferenciales Parciales a dos Ecuaciones Diferenciales Ordinarias: $$T''+2bT'-KT=0$$ $$X''-KX$$

Teniendo en cuenta sus condiciones de contorno, ya es fácil ver que$X$debe ser una función seno con argumento$nx,$para$n$un entero Eso es,$K=-n^2.$Puede conectar esta información en la primera ecuación para$T$y resolverlo

Omitiré estos pasos ya que creo que es bastante sencillo desde aquí, pero ¡pregunte si tiene alguna dificultad con eso! ¡Es particularmente fácil ya que ya te dicen la forma de las soluciones!

A continuación, simplemente combine las soluciones linealmente con algunos coeficientes. Lo que quieres hacer ahora es encontrar los coeficientes$b_n$eso hace eso$\sum b_n \sin(nx)=f(x).$La respuesta es que estos son coeficientes de Fourier. No sé si sabes sobre esto, pero incluso si no lo sabes, la receta es bastante fácil de seguir y puedes buscar las fórmulas clave en la wikipedia .