Ondas estacionarias en cuerdas con diferentes densidades

Hay mucha información útil (y algunas animaciones geniales) en la página de Daniel Russell con animaciones de Acústica y Vibración .

De particular interés es el hecho de que la amplitud de la onda reflejada se puede calcular a partir de la impedancia de la onda. La impedancia de onda está dada por

$$Z = \rho c = \sqrt{\rho T}$$

Y la amplitud de la onda reflejada está dada por

$$A_r = \frac{Z_1 - Z_2}{Z_1+Z_2} A_i$$

Cuando$Z_2 = 3Z_1$, resulta que$A_r = -\frac12 A_i$para la onda que viaja de izquierda a derecha, y$A_r' = \frac12 A_i'$para la onda que viaja de derecha a izquierda. La amplitud transmitida viene dada por

$$A_t = \frac{2Z_1}{Z_1+Z_2}$$

Viajando de baja a alta densidad, esto es nuevamente$A_t = \frac12 A_i$, mientras que de derecha a izquierda es$A_t' = \frac32 A_i'$.

Algunos de los rebotes de las olas se muestran en este diagrama:

En (a), un solo pulso viaja hacia la derecha. Se refleja parcialmente en el límite y un pulso de la mitad de la amplitud (y 1/3 de la longitud de onda) continúa hacia la derecha, mientras que el resto se refleja e invierte en (b). En (c), la onda de la izquierda ha regresado, mientras que la de la derecha sigue viajando hacia la derecha. Ocurre otra transmisión/reflexión, y obtienes una fracción aún más pequeña de la onda a la izquierda y un segundo pulso a la derecha en (d). Si continuara con este diagrama, vería que el movimiento de izquierda y derecha es una suma infinita de ondas de diferentes amplitudes y tiempos; una solución de estado estacionario solo puede existir para ciertas frecuencias, que calcularemos a continuación.

Este diagrama es como se vería si pudieras dar una "patada" corta al extremo izquierdo de la cuerda y observaras cómo se propagan las ondas. A medida que estos pulsos viajan de un lado a otro, generalmente sucederá que las frecuencias más altas se amortigüen y quede una onda estacionaria. En principio, puede hacer el mismo diagrama con ondas sinusoidales, pero rápidamente se vería muy desordenado, así que vayamos al tratamiento matemático:

Se sabe que la velocidad de propagación de la onda es proporcional a la inversa de la raíz cuadrada de la masa por unidad de longitud; entonces si tienes la mitad de la cuerda en densidad$\rho$y la otra mitad a densidad$9\rho$, entonces la onda viaja 3 veces más rápido en la parte más delgada de la cuerda, y debería haber más ondas en la parte gruesa.

Para dibujar esto, debe encontrar una función que sea continua tanto en amplitud (para que la cuerda no se rompa) como en la primera derivada (de lo contrario, habrá una aceleración infinita en la "torcedura" hasta que vuelva a estar suave). Esto significa que a la izquierda del centro, tiene la forma

$$y = A_1 \sin(k x)$$ mientras que a la derecha está

$$y = A_2 \sin(3k (2L-x))$$

(Utilizando el$\sin$función base como esta hacemos cumplir las condiciones de contorno en x=0 y x=2L).

La continuidad de amplitud implica que

$$A_1 \sin(kL)=A_2\sin(3 kL)$$

y continuidad de la primera derivada:

$$A_1 k \cos(kL)=-3 A_2 k \cos(3 kL)$$

Ahora podemos resolver para el número de onda$k$y la relación de amplitudes en las dos mitades de la cuerda. Poniendo$A_1=1$por simplicidad, podemos dividir las dos ecuaciones entre sí y encontrar que

$$\tan{ kL} = -3 \tan(3 kL)$$

No soy lo suficientemente inteligente para resolver esa ecuación, pero Wolfram Alpha sí lo es. Me da

$$\begin{align}kL &= n\pi\\ &= 2n\pi - 2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac13\left(13-4\sqrt{10}\right)}\right)\\ &= 2n\pi + 2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac13\left(13-4\sqrt{10}\right)}\right)\\ &= 2n\pi - 2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac13\left(13+4\sqrt{10}\right)}\right)\\ &= 2n\pi + 2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac13\left(13+4\sqrt{10}\right)}\right)\\ &\rm{with ~ n\in \mathbb{Z}}\end{align}$$

Aquí hay gráficos de 4 armónicos diferentes calculados a partir de lo anterior:

Curiosamente, para el modo trivial en el que hay un nodo en la unión, la relación de amplitudes de las ondas necesarias para la continuidad es diferente (3:1 frente a 1,5:1). No estoy seguro de por qué es eso.

Descargo de responsabilidad: es posible que haya habido un error en mis cálculos anteriores... pero estoy bastante seguro de que los principios son sólidos.

Pensar en las ondas estacionarias en términos de reflejos de la discontinuidad en el medio es una receta para la confusión. Aquí hay una solución más fácil.

Dado que la tensión de la cuerda será uniforme, pero la relación masa/longitud cambia por un factor de 9 en el punto medio, deberá hacer coincidir el desplazamiento y la pendiente en la discontinuidad.

$$\begin{align} D(x)&=A\sin (kx) & \text{for }x&<L \\ D(x)&=B\sin (3k(2L-x))&\text{for }x&>L \\ \\ A\sin (kL)&=B\sin (3kL) \\ A\cos (kL)&=-3B\cos (3kL) \\ \end{align}$$ Divida la primera ecuación por la segunda para eliminar A y B: $\tan (kL)=-\tfrac{1}{3}\tan (3kL)$. Podrías resolver esta pequeña y desagradable ecuación trascendental gráficamente para los valores permitidos de k , luego conectar para obtener A/B .

Para mantener las cosas simples, comencemos con:

Supongamos que observo ondas estacionarias a una frecuencia$f1,f2,f3$... cuál sería la forma de la cuerda. No puede ser simple un bucle, dos bucles, tres bucles respectivamente, ya que la longitud de onda de la onda cambia cuando vamos de un lado al otro.

La velocidad de onda en una cuerda viene dada por$v = \sqrt{\frac T\mu}$dónde$T$es la tensión en la cuerda y$\mu$es la masa por unidad de longitud de la cuerda.

Como la segunda parte es nueve veces más densa que la primera y la tensión en ambas cuerdas es la misma, claramente,

$$v_1 = 3v_2$$

Entonces, las longitudes de onda en las partes se relacionarán como$\lambda_1 = 3\lambda_2$ya que la frecuencia de la onda seguirá siendo la misma en toda la cuerda. Entonces la cuerda, en su frecuencia fundamental, se verá como:

Para frecuencias más altas, simplemente multiplique el número de medias longitudes de onda entre$AB$y$BC$a la frecuencia fundamental por el nivel de armónico para obtener el número de medias longitudes de onda en el$n^{th}$armónico.

Ahora veamos esto:

Para que se formen ondas estacionarias, ¿la$W_1$necesita estar en fase con la onda inicial o la$W_2$necesita estar en fase con la onda inicial.

Para la onda estacionaria fundamental,$W_2$estará en fase con la onda inicial cuando se encuentra por primera vez con la unión.$W_1$no estará en fase con la onda inicial después de la primera reflexión. Pero eso cambiará después de posteriores reflexiones/transmisiones.

(Al estar en fase, quiero decir que oscilarán en el mismo lado de la cuerda, y supongo que quisiste decir lo mismo)

Esto es porque$W_1$se someterá a un$\pi$cambio de fase cuando se refleja en la unión$B$. Asimismo, para el momento$W_2$viajará de B a C y de regreso a B,$W_1$habrá viajado de B a A y de regreso tres veces. El$W_2$reflejada en C sufrirá$\pi$desplazamiento y, por lo tanto, cuando entre en la primera parte en B, estará en fase con la onda inicial.

Espero que haya tenido sentido. De lo contrario, házmelo saber en los comentarios..

Básicamente, concluyo que una onda estacionaria comparable a la de una cuerda homogénea no es posible. Aquí está la explicación:

Para una onda en una cuerda, la frecuencia de vibración fundamental (la frecuencia más baja que resultará en una onda estacionaria) es:

$$f_1 = {\sqrt{T\over{m/L}}\over2L}\quad \tag1$$ de Ref , donde $T$, $m$, y $L$son la tensión, la masa y la longitud de la sección del cable.

Mayores frecuencias de vibración$f_2$,$f_3$... (llamados armónicos), que son múltiplos enteros de la frecuencia básica, se logran aquí aumentando la tensión en múltiplos de$T$. En estas frecuencias donde las ondas estacionarias son visibles, la onda visible es la suma de las ondas que viajan hacia la izquierda y hacia la derecha a lo largo de la cuerda (vea la animación , donde el amarillo es una suma de azul (moviéndose hacia la izquierda) y verde (moviéndose hacia la derecha)) .

Si su cuerda tiene dos o más secciones con diferentes masas por unidad de longitud, entonces para lograr una onda estacionaria a una frecuencia particular:

1. La frecuencia de vibración debe coincidir con la frecuencia de vibración fundamental de cada sección de cuerda multiplicada por algún número entero (se admiten diferentes números enteros por sección, en otras palabras, la frecuencia fundamental de una sección puede coincidir con la$2^{nd}$o$3^{rd}$armónico de otra sección).

2. Las ondas reflejadas en la interfaz de dos secciones de cuerda, que se mueven en dirección opuesta, no deben interferir destructivamente con las ondas que se mueven en dirección hacia adelante.

3. Dado que las secciones de la cuerda están conectadas, tendrán la misma tensión, por lo que esto es una restricción.

Parece que podemos cumplir las condiciones 1 y 2, siempre que las secciones de cuerdas estén vibrando en diferentes armónicos. En su pregunta, donde una sección tiene 9 veces la densidad lineal de otra, entonces:

(9 x la frecuencia fundamental de la sección con densidad lineal$u$) = (la frecuencia fundamental de la sección con densidad lineal$9u$).

La condición insuperable es que, simultáneamente, la frecuencia en una sección debe ser igual a la frecuencia en la otra sección, y la tensión en una sección debe ser igual a la tensión en la otra sección, lo cual, como podemos ver en la ecuación$1$es imposible para secciones con diferentes densidades lineales .

Si elige visualizar el movimiento de las ondas usando la ecuación de amplitud de onda:

$y = A\sin({\omega t + \phi})\tag2$de Ref , donde$y$es la posición vertical donde se encuentran dos secciones de cuerda,$\omega$es la frecuencia angular de la vibración y$\phi$es el ángulo de fase/desplazamiento de la onda (constante), se llega a la misma restricción ya que:

• La ecuación simplemente describe el movimiento por el cual la tensión ya está restringida para ser igual entre secciones de cable de diferente densidad lineal.
• $\omega$es un múltiplo de la frecuencia de vibración fundamental$f_1$.
• Por lo tanto$\omega$no es lo mismo para los dos tramos de cuerda, de diferente densidad lineal, que se encuentran en un punto determinado.