¿Cuál es el significado de la presión en la ecuación de Navier-Stokes?

Question

¿Cuál es el significado de la presión en la ecuación de Navier-Stokes?

GGG

¡Me cuesta entender la presión en la ecuación de Navier-Stokes! Puede sonar ridículo, pero todavía no puedo entender el verdadero significado de la presión en la ecuación de Navier-Stokes. ¡Hagamos algunas matemáticas para explicar mi propósito con mayor precisión! Empecemos por lo básico de la física y en mi opinión esa sería la primera ecuación en la termodinámica clásica como ecuación de estado. Suponemos: hay un fluido, que tiene una ecuación de estado como:

ρ = ρ (PAG, T)

$\rho = \rho(P,T)$

Dónde $\rho$ es la densidad del fluido, $P$ es la presión y $T$ es la temperatura Derivamos de esta ecuación para tener:

d ρ = (\frac{\partial ρ}{\partial PAG})_{T} d PAG + (\frac{\partial ρ}{\partial T})_{PAG} d T

$d\rho = (\frac{\partial \rho}{\partial P})_{T} dP + (\frac{\partial \rho}{\partial T})_{P} dT$

Supongamos que nuestro fluido está en equilibrio térmico y su temperatura no cambiará, como resultado: $d T = 0$

Entonces tenemos:

d ρ = (\frac{\partial ρ}{\partial PAG})_{T} d PAG

$d \rho = (\frac{\partial \rho}{\partial P})_{T} dP$

Sé que son muchas suposiciones, pero de nuevo supongamos que el cambio de densidad debido al cambio de presión no es no lineal y que nuestro fluido, de hecho, se comporta como un gas ideal. Como resultado, llamo $(\frac{\partial \rho}{\partial P})_{T}$ el inverso del cuadrado de la velocidad del sonido, que es un número constante, como:

(\frac{\partial ρ}{\partial PAG})_{T} = C_{s}^{- 2}

$(\frac{\partial \rho}{\partial P})_{T} = c_{s}^{-2}$

Entonces, finalmente tenemos:

d ρ = C_{s}^{- 2} d PAG

$d \rho = c_{s}^{-2} d P$

O:

Δ ρ = C_{s}^{- 2} Δ PAG

$\Delta \rho = c_{s}^{-2} \Delta P$

O de nuevo:

(ρ - ρ_{F}) = C_{s}^{- 2} (PAG - {PAG}_{0})

$(\rho - \rho_{f}) = c_{s}^{-2} (P - P_{0})$

Dónde $\rho_{f}$ es la densidad del fluido en reposo o referencia, que es un valor tabulado para cada fluido, y $P_{0}$ es la presión de referencia.

Ahora, asumiría que mi fluido es un fluido incompresible y significa (¡la densidad es constante y es realmente constante!):

ρ = ρ_{F}

$\rho = \rho_{f}$

Como resultado, dado que todo fluido, independientemente de su compresibilidad o incompresibilidad, tiene una velocidad finita del sonido, diría que:

PAG = {PAG}_{0}

$P = P_{0}$

O dicho de otro modo, estrictamente hablando, la presión debería ser igual a la presión de referencia.

Ahora, demostré que para un fluido incompresible mientras la densidad sea constante, la presión también debería ser constante. Entonces en la ecuación incompresible de Navier-Stokes tenemos:

ρ_{F} \frac{\partial tu}{\partial t} + ρ_{F} (tu \cdot \nabla) tu = - \nabla PAG + \nabla \cdot τ

$\rho_{f} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \rho_{f} (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = -\nabla P + \nabla \cdot \tau$

Y mostré que para un fluido incompresible, P es simplemente constante, entonces: $\nabla P = 0$ !

Como resultado, pude simplificar la ecuación de Navier-Stokes como:

ρ_{F} \frac{\partial tu}{\partial t} + ρ_{F} (tu \cdot \nabla) tu = \nabla \cdot τ

$\rho_{f} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \rho_{f} (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u} = \nabla \cdot \tau$

Ahora volvamos a mi pregunta original:

Con base en estos cálculos, diría que la presión en la ecuación incompresible de Navier-Stokes es solo una variable ficticia, ¡que no tiene ningún significado físico! Agradezco si alguien me puede explicar esto!

Katermickie

hay casos relevantes en los que

d T

$dT$ no es despreciable incluso para fluidos incompresibles. Este es el caso, por ejemplo, para describir el movimiento del aire a gran escala. Entonces P como una función de T es relevante en este caso y

\nabla P

$\nabla P$ no es necesario 0

GGG

@Katermickie Sé lo que quiere decir, pero limitemos nuestro análisis a aquellos casos en los que

d T = 0

$d T = 0$ , que no son raros en la literatura! No dije que mi análisis pudiera cubrir todos los casos, pero mientras mis suposiciones sean ciertas, estoy interesado en estudiar las consecuencias. Estoy realmente interesado en estas suposiciones porque la aplicación para la que uso Navier-Stokes coincide completamente con estas suposiciones.

GGG

@Katermickie Y también lea la pregunta con más atención porque su ejemplo cuando el aire se mueve a gran escala probablemente debería estudiarse utilizando la ecuación comprimible de Navier-Stokes y necesita acoplar la ecuación de balance de energía térmica (es decir, la ecuación de transferencia de calor) a Navier-Stokes ! ¡Como resultado, su ejemplo no es relevante para mis suposiciones!

kyle kanos

Relacionado, si no engañado, physics.stackexchange.com/q/319577/25301

GGG

@Katermickie En otras palabras, no tengo dudas sobre la ecuación comprimible de Navier-Stokes, ¡pero creo que la versión incompresible es solo una mierda! Me refiero a que muchas personas, incluyéndome a mí, lo usan para investigar, pero ¿es posible que alguien me explique la lógica detrás de esto?

GGG

¡La única laguna que puede existir en mi derivación es que puedes discutir sobre mi velocidad finita del sonido! ¡Para un fluido verdaderamente incompresible, la velocidad del sonido debería ser infinitamente grande! (¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡! Si alguien pudiera explicar esto también, ¡agradecería su respuesta!

Katermickie

En realidad, en escalas grandes para velocidades pequeñas, puede tratar el aire como un fluido incompresible, pero además de eso, asumiría que tiene razón si omite esos casos, puede ignorar el término de presión en la mayoría de los casos.

Katermickie

Un caso en el que no puede ignorarlo que podría pensar es un tanque lleno de agua y una superficie de agua inclinada, es decir, la diferencia de altura entre el fondo del tanque y la superficie del agua se convierte en una función del espacio. Dado que la presión P en el fondo del tanque depende de la altura del agua por encima, también se vuelve nom constante y

\nabla P

$\nabla P$ es de nuevo distinto de cero. Con respecto a esto, no estoy seguro si su derivación usando

ρ = ρ (P)

$\rho=\rho(P)$ es válido si quiere asumir fluidos incompresibles donde

d ρ / d P = 0

$d\rho/dP=0$ ...

GGG

Si estás hablando de hidrostática, ¡las cosas incluso podrían complicarse más! Sí, digamos que nuestro fluido ni siquiera se mueve y, como resultado, debería haber un gradiente de presión debido a la fuerza de la gravedad, pero ¿cómo puede cambiar mi derivación para mostrar que la presión no debería ser una constante? Quiero decir, de lo contrario, terminará argumentando que debido a que tengo un gradiente de presión a lo largo de un tanque, ¡debería tener un gradiente de densidad! ¡lo cual, en mi opinión, es muy poco probable!

GGG

O diría que cada campo de fuerza conservativo (es decir,

f = - \nabla ϕ

$f = -\nabla \phi$ ) dónde

ϕ

$\phi$ es el potencial de esa fuerza, cuya gravedad es un ejemplo para ese campo de fuerza, su potencial

ϕ

$\phi$ podría interpretarse como una presión ficticia. ¡Quiero decir que podríamos llamarlo presión, pero en realidad no es presión termodinámica!

Katermickie

Dado que para un fluido incompresible

d ρ / d P = 0

$d\rho/dP=0$ no obtienes un gradiente de densidad. Entonces, si asume una superficie de agua inclinada, la altura cambia a lo largo de, digamos, la dirección x. La presión hidrostática en un punto es

P = ρ g h

$P=\rho gh$ donde h es la altura del agua suprayacente. Si

h = h (x)

$h=h(x)$ obtienes un gradiente de presión a lo largo de x

GGG

Un ejemplo de

f = - \nabla ϕ

$f = -\nabla \phi$ pero eso es

ϕ

$\phi$ o potencial de fuerza conservativa. Entonces, ¿por qué debería llamarlo presión? La presión termodinámica es algo así como una energía interna. Sabes que debe depender de lo que impongas desde fuera al asunto. La presión termodinámica es solo una energía interna por volumen y eso es todo. Independientemente de la presencia de la gravedad u otras fuerzas, existe una presión que no depende de las variables cinéticas y solo depende de los potenciales de equilibrio de densidad y temperatura. Admito que la fuerza externa agregará algo a la presión termodinámica...

GGG

Pero tomo en cuenta todas las fuerzas externas en la ecuación de Navier-Stokes por separado:

ρ_{f} \frac{\partial ρ}{\partial t} + ρ_{f} (u \cdot \nabla) u = - \nabla P + \nabla \cdot τ + f

$\rho_{f} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho_{f} (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\nabla P + \nabla \cdot \tau + \mathbf{f}$ , dónde

f

$\mathbf{f}$ es todos los campos de fuerza externos. Entonces, ¿por qué debería incluirlo en P mismo? Podría decir que está bien en el caso hidrostático, el campo externo está en equilibrio con la presión interna.

Chet Miller

¿Por qué dices que la presión es constante para un fluido incompresible?

Respuestas (2)

¿Cuál es el significado de la presión en la ecuación de Navier-Stokes?

hay casos relevantes en los que $dT$ no es despreciable incluso para fluidos incompresibles. Este es el caso, por ejemplo, para describir el movimiento del aire a gran escala. Entonces P como una función de T es relevante en este caso y $\nabla P$ no es necesario 0
@Katermickie Sé lo que quiere decir, pero limitemos nuestro análisis a aquellos casos en los que $d T = 0$ , que no son raros en la literatura! No dije que mi análisis pudiera cubrir todos los casos, pero mientras mis suposiciones sean ciertas, estoy interesado en estudiar las consecuencias. Estoy realmente interesado en estas suposiciones porque la aplicación para la que uso Navier-Stokes coincide completamente con estas suposiciones.
@Katermickie Y también lea la pregunta con más atención porque su ejemplo cuando el aire se mueve a gran escala probablemente debería estudiarse utilizando la ecuación comprimible de Navier-Stokes y necesita acoplar la ecuación de balance de energía térmica (es decir, la ecuación de transferencia de calor) a Navier-Stokes ! ¡Como resultado, su ejemplo no es relevante para mis suposiciones!
Relacionado, si no engañado, physics.stackexchange.com/q/319577/25301
@Katermickie En otras palabras, no tengo dudas sobre la ecuación comprimible de Navier-Stokes, ¡pero creo que la versión incompresible es solo una mierda! Me refiero a que muchas personas, incluyéndome a mí, lo usan para investigar, pero ¿es posible que alguien me explique la lógica detrás de esto?
¡La única laguna que puede existir en mi derivación es que puedes discutir sobre mi velocidad finita del sonido! ¡Para un fluido verdaderamente incompresible, la velocidad del sonido debería ser infinitamente grande! (¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡! Si alguien pudiera explicar esto también, ¡agradecería su respuesta!
En realidad, en escalas grandes para velocidades pequeñas, puede tratar el aire como un fluido incompresible, pero además de eso, asumiría que tiene razón si omite esos casos, puede ignorar el término de presión en la mayoría de los casos.
Un caso en el que no puede ignorarlo que podría pensar es un tanque lleno de agua y una superficie de agua inclinada, es decir, la diferencia de altura entre el fondo del tanque y la superficie del agua se convierte en una función del espacio. Dado que la presión P en el fondo del tanque depende de la altura del agua por encima, también se vuelve nom constante y $\nabla P$ es de nuevo distinto de cero. Con respecto a esto, no estoy seguro si su derivación usando $\rho=\rho(P)$ es válido si quiere asumir fluidos incompresibles donde $d\rho/dP=0$ ...
Si estás hablando de hidrostática, ¡las cosas incluso podrían complicarse más! Sí, digamos que nuestro fluido ni siquiera se mueve y, como resultado, debería haber un gradiente de presión debido a la fuerza de la gravedad, pero ¿cómo puede cambiar mi derivación para mostrar que la presión no debería ser una constante? Quiero decir, de lo contrario, terminará argumentando que debido a que tengo un gradiente de presión a lo largo de un tanque, ¡debería tener un gradiente de densidad! ¡lo cual, en mi opinión, es muy poco probable!
O diría que cada campo de fuerza conservativo (es decir, $f = -\nabla \phi$ ) dónde $\phi$ es el potencial de esa fuerza, cuya gravedad es un ejemplo para ese campo de fuerza, su potencial $\phi$ podría interpretarse como una presión ficticia. ¡Quiero decir que podríamos llamarlo presión, pero en realidad no es presión termodinámica!
Dado que para un fluido incompresible $d\rho/dP=0$ no obtienes un gradiente de densidad. Entonces, si asume una superficie de agua inclinada, la altura cambia a lo largo de, digamos, la dirección x. La presión hidrostática en un punto es $P=\rho gh$ donde h es la altura del agua suprayacente. Si $h=h(x)$ obtienes un gradiente de presión a lo largo de x
Un ejemplo de $f = -\nabla \phi$ pero eso es $\phi$ o potencial de fuerza conservativa. Entonces, ¿por qué debería llamarlo presión? La presión termodinámica es algo así como una energía interna. Sabes que debe depender de lo que impongas desde fuera al asunto. La presión termodinámica es solo una energía interna por volumen y eso es todo. Independientemente de la presencia de la gravedad u otras fuerzas, existe una presión que no depende de las variables cinéticas y solo depende de los potenciales de equilibrio de densidad y temperatura. Admito que la fuerza externa agregará algo a la presión termodinámica...
Pero tomo en cuenta todas las fuerzas externas en la ecuación de Navier-Stokes por separado: $\rho_{f} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho_{f} (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\nabla P + \nabla \cdot \tau + \mathbf{f}$ , dónde $\mathbf{f}$ es todos los campos de fuerza externos. Entonces, ¿por qué debería incluirlo en P mismo? Podría decir que está bien en el caso hidrostático, el campo externo está en equilibrio con la presión interna.
¿Por qué dices que la presión es constante para un fluido incompresible?

Profundo · Answer 1

Hay dos presiones: Presión termodinámica $p_\text{thermo}$ y presión mecánica $p_\text{mech}$ . La presión termodinámica, un concepto de la termodinámica de equilibrio y, por lo tanto, aplicable solo a un fluido estático, viene dada por una ecuación de estado: $p_\text{thermo}=f(\rho,T)$ , dónde $\rho$ es la densidad del fluido y $T$ su temperatura Un fluido en movimiento no está en equilibrio y su $p_\text{thermo}$ no está definido. La presión mecánica es la parte isotrópica del tensor de tensión y también se define para un fluido en movimiento; $p_\text{mech}$ aparece en la ecuación de Navier-Stokes.

Si un fluido estático es isotérmico y tiene densidad constante ( $\rho,T$ fijo) entonces $p_\text{thermo}$ también es fijo. Pero la presión mecánica dada por la ecuación hidrostática varía con la profundidad en un fluido isotérmico de densidad constante.

Su derivación mezcla las dos presiones. Las relaciones son:

\begin{aligned} d ρ & = C_{s}^{- 2} d {pag}_{mecánico} \\ d ρ & = (\frac{\partial ρ}{\partial T}) d T + (\frac{\partial ρ}{\partial {pag}_{termo}}) d {pag}_{termo} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{d}\rho&=c_s^{-2}\,\mathrm{d}p_\text{mech}\\ \mathrm{d}\rho&=\left(\frac{\partial\rho}{\partial T}\right)\,\mathrm{d}T+\left(\frac{\partial\rho}{\partial p_\text{thermo}}\right)\,\mathrm{d}p_\text{thermo}. \end{align}$ La última ecuación de la termodinámica es aplicable solo a un fluido estático. La primera no es una ecuación termodinámica. Un fluido incompresible se define como aquel cuya densidad no depende de su presión mecánica

p_{mech}

$p_\text{mech}$ ; no dice eso

p_{mech}

$p_\text{mech}$ no puede variar Por lo tanto, a medida que se acerca al límite de un fluido incompresible,

d ρ \to 0

$\mathrm{d}\rho\to0$ , necesariamente debemos tener

c_{s} \to \infty

$c_s\to\infty$ . Es incorrecto decir "...todo fluido independientemente de su compresibilidad o incompresibilidad tiene una velocidad de sonido finita..."; los fluidos incompresibles no existen, por lo que a priori no sabrías qué velocidad del sonido se le debe asignar a un hipotético fluido; para ser consistente con la definición de incompresibilidad sin embargo una variación en

p_{mech}

$p_\text{mech}$ debe permitirse lo que exige que la velocidad del sonido en un hipotético fluido incompresible sea infinita.

PD Aquí hay artículo 1 y artículo 2 que pueden interesarle (NB: ambos son PDF).

dijiste la ecuacion $d \rho = c_{s}^{-2} d p_{mech}$ no es una ecuación termodinámica. Si no es así, ¿cómo se puede derivar? Quiero decir que es una ecuación de estado de gas ideal, entonces, ¿por qué debería haber dos definiciones para la presión como termodinámica y mecánica? Mi enfoque de la ecuación de Navier-Stokes es un poco diferente al de los dinámicos de fluidos convencionales y, como resultado, veo esa ecuación ( $d \rho = c_{s}^{-2} d p_{mech}$ ) todos los días porque uso el método de Boltzmann de celosía para resolver Navier-Stokes, y todavía no puedo digerir por qué la ecuación de estado del gas ideal debería darme presión en Navier-Stokes.
@MehrdadYousefi Aquí hay una derivación . Lo que se necesita para la derivación es el concepto de módulo volumétrico. Para un gas ideal, si asumió que las presiones termodinámica y mecánica son las mismas (esta suposición también se hace a menudo en otros contextos), entonces puede usar su ecuación de estado para calcular explícitamente el módulo volumétrico en términos de propiedades conocidas del gas. gas. Además, no importa cómo obtenga la ecuación de Navier-Stokes, es necesaria una distinción entre presión termodinámica y mecánica...
... porque un fluido en movimiento no está en equilibrio y el concepto de presión termodinámica es inaplicable a él, mientras que su presión mecánica está bien definida. "Mi enfoque de la ecuación de Navier-Stokes es un poco diferente al de los especialistas en dinámica de fluidos convencionales..." ¿Podría publicar un enlace relevante? Me interesaría una derivación alternativa.
Es un buen punto de partida para familiarizarse con mi enfoque "método de celosía de Boltzmann" para resolver Navier-Stokes en lugar de usar solucionadores de flujo FEM o FVM convencionales: dartmouth.edu/~cushman/papers/2018-Boltzmann-to-NS.pdf
@MehrdadYousefi Gracias por el enlace. Debería hablar con mis colegas que usan LBM. En cualquier caso, creo que la presión calculada con LBM no puede ser presión termodinámica porque un fluido en movimiento no está en equilibrio. Pero aplicar relaciones termodinámicas de equilibrio a una situación de no equilibrio (fluido en movimiento) es una excelente aproximación si la desviación del equilibrio no es demasiado grande. Por lo general, esto significa que la escala de tiempo del flujo es mucho mayor que la escala de tiempo molecular (por ejemplo, el tiempo medio de colisión).
Sí, de hecho, LBM conduce a una solución que varía lentamente en el tiempo a partir de la expansión de Chapman-Enskog, donde las escalas de tiempo difusiva y convectiva están desacopladas. Ok, puedo entender que cuando la condición de no equilibrio no está demasiado lejos de la condición de equilibrio, podríamos aplicar la relación termodinámica, pero el problema es ¿por qué este equilibrio debería coincidir repentinamente con un gas ideal? ¿Quiero decir que significa que cualquier fluido cerca del equilibrio se comporta como un gas ideal? ¡Eso es extraño para mí! Comparé LBM con FEM y, lo que es más extraño, la presión de LBM es igual a FEM, que se deriva de la ecuación de presión de Poisson.
También mire esta discusión aquí que no es convincente en mi opinión: palabos.org/forum/read.php?3,4809

Chet Miller · Answer 2

Para un fluido incompresible, la presión en la ecuación de Navier Stokes representa la parte isotrópica del tensor de tensión. Se determina hasta un valor constante arbitrario; es decir, agregar una constante arbitraria a la presión en todas las ubicaciones a lo largo del campo de flujo aún permite satisfacer la ecuación NS. La arbitrariedad se elimina especificando la presión en cualquier ubicación en el límite.

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