Fluir a través de un agujero en una esfera.

Question

Fluir a través de un agujero en una esfera.

Física
presión
viscosidad
dinámica de fluidos
ecuación de bernoulli

Thermodynamix

tengo una esfera de diametro $D$ (radio $R$ ) con un pequeño orificio de diámetro $d$ (radio $a$ ) en él, con aire fluyendo a través del eje del orificio:

Estoy tratando de estimar la fuerza de arrastre debido a la fricción en el agujero.

Primero, consideremos la simplificación de suposiciones:

$d << D$
La distribución de la presión alrededor de la esfera no se ve afectada por el pequeño orificio.
$Re_D = \frac{\rho u_{\infty}D}{\mu} >> 1 \therefore$ flujo no viscoso alrededor de la esfera.
$Re_d\frac{d}{D} << 1 \therefore$ flujo libre de inercia en el pozo a través de la escala de Navier-Stokes.

Las suposiciones 2 y 3 sugieren que las presiones en los puntos 1 y 2 (que se muestran en la figura) se pueden estimar mediante presiones de estancamiento simples con la ecuación de Bernoulli:

{PAG}_{1} = {PAG}_{2} = {PAG}_{\infty} + \frac{1}{2} ρ {tu}_{\infty}^{2}

$P_1 = P_2 = P_{\infty} + \frac{1}{2} \rho u_{\infty}^2$

Ahora, las suposiciones 1 y 4 sugieren que el flujo en el pozo está dominado por la viscosidad, lo que da como resultado la solución de Hagen-Poiseuille para el flujo a través de una tubería:

v_{z} (r) = \frac{1}{4 m} \frac{Δ PAG}{D} (a^{2} - r^{2})

$v_z(r) = \frac{1}{4\mu}\frac{\Delta P}{D}(a^2 - r^2)$

A partir de esto, pude calcular fácilmente el esfuerzo cortante en el agujero y, por lo tanto, la fuerza de arrastre en el agujero.

Sin embargo, el problema es que mi análisis de Bernoulli produce una caída de presión cero:

Δ PAG = {PAG}_{1} - {PAG}_{2} = 0

$\Delta P = P_1 - P_2 = 0$

Esto parece sugerir que no hay flujo a través del pequeño orificio en un régimen no viscoso, donde $Re_D >> 1$ .

En ese caso, tengo cero arrastre de fricción en el agujero ya que aproximadamente no hay flujo.

¿Es correcto este análisis? ¿No habría aproximadamente flujo y, por lo tanto, no habría arrastre por fricción en este pequeño orificio, si hubiera un gran flujo de número de Reynolds alrededor de la esfera?

Chet Miller

Incluso a Re alto, sigo pensando que habría una diferencia de presión significativa entre 1 y 2. Esto se debe a la condición límite de no deslizamiento en la esfera y la zona de separación que se desarrolla en el borde posterior de la esfera. Busque la distribución de flujo más allá de una esfera sólida a medida que aumenta Re.

Chet Miller

ecourses.ou.edu/cgi-bin/…

Profundo

Como primera aproximación aproximada, creo que puede suponer que el fluido detrás de la esfera (en el punto de estancamiento trasero) está estacionario (debido a la región de recirculación allí) para que la diferencia de presión

p_{1} - p_{2} \sim 0.5 ρ u_{\infty}^{2}

$p_1-p_2\sim 0.5\rho u_\infty^2$ .

Thermodynamix

@ChesterMiller tienes razón, hay una caída de presión definitiva. Mi análisis puramente invisible es incorrecto y mi error en realidad se parece mucho a la paradoja de D'Alembert.

Thermodynamix

@Deep Esto es lo que he visto de otras fuentes. He tratado de mostrar analíticamente que

Δ P \sim 0.5 ρ u_{\infty}^{2}

$\Delta P \sim 0.5\rho u_{\infty}^2$ en mi respuesta a continuación, aunque no estoy seguro de si es un argumento adecuado.

Respuestas (1)

Fluir a través de un agujero en una esfera.

Incluso a Re alto, sigo pensando que habría una diferencia de presión significativa entre 1 y 2. Esto se debe a la condición límite de no deslizamiento en la esfera y la zona de separación que se desarrolla en el borde posterior de la esfera. Busque la distribución de flujo más allá de una esfera sólida a medida que aumenta Re.
Como primera aproximación aproximada, creo que puede suponer que el fluido detrás de la esfera (en el punto de estancamiento trasero) está estacionario (debido a la región de recirculación allí) para que la diferencia de presión $p_1-p_2\sim 0.5\rho u_\infty^2$ .
@ChesterMiller tienes razón, hay una caída de presión definitiva. Mi análisis puramente invisible es incorrecto y mi error en realidad se parece mucho a la paradoja de D'Alembert.
@Deep Esto es lo que he visto de otras fuentes. He tratado de mostrar analíticamente que $\Delta P \sim 0.5\rho u_{\infty}^2$ en mi respuesta a continuación, aunque no estoy seguro de si es un argumento adecuado.

Thermodynamix · Answer 1

Parece que mi problema de $\Delta P = 0$ es un caso de la paradoja de D'Alembert , donde el flujo puramente invisible predice erróneamente una caída de presión cero alrededor de un objeto. Además, si este es un flujo de número de Reynolds alto $(Re_D >> 1 )$ , es más probable en el régimen turbulento, y los experimentos han demostrado que eso $\Delta P \sim 0.5\rho u_{\infty}^2$ , como se muestra a continuación con el coeficiente de presión $C_P$ .

Este resultado fue sugerido por el usuario Deep en un comentario sobre el OP. Aquí intentaré un argumento para mostrar este resultado analíticamente.

Mi análisis de la presión de estancamiento en el punto 1 está bien:

{PAG}_{1} = {PAG}_{\infty} + 0.5 ρ {tu}_{\infty}^{2}

$P_1 = P_{\infty} + 0.5\rho u_{\infty}^2$

Ahora podemos considerar la fuerza de arrastre y algunas escalas simples para llegar a $P_2$ .

Por una esfera en lo alto $Re_D$ régimen, sabemos que el coeficiente de arrastre $C_D = 0.4$ , por lo que la fuerza de arrastre es:

F_{D} = 0.4 (0.5 ρ {tu}_{\infty}^{2}) π R^{2} = 0.628 ρ {tu}_{\infty}^{2} R^{2}

$F_D = 0.4(0.5\rho u_{\infty}^2)\pi R^2 = 0.628\rho u_{\infty}^2R^2$

Y $F_D \sim R^2\Delta P$ , por lo tanto:

Δ PAG = {PAG}_{1} - {PAG}_{2} \sim 0.628 ρ {tu}_{\infty}^{2}

$\Delta P = P_1 - P_2 \sim 0.628\rho u_{\infty}^2$

Resolviendo para $P_2$ ,

{PAG}_{2} \sim {PAG}_{1} - 0.628 ρ {tu}_{\infty}^{2} = {PAG}_{\infty} - 0.128 ρ {tu}_{\infty}^{2}

$P_2 \sim P_1 - 0.628\rho u_{\infty}^2 = P_{\infty} - 0.128\rho u_{\infty}^2$

donde podemos ignorar $0.128\rho u_{\infty}^2$ ¿término? Si lo ignoramos, el resultado es:

{PAG}_{2} \sim {PAG}_{\infty}

$P_2 \sim P_{\infty}$

Esto parece un poco ondulado, pero es lo más cerca que he llegado de convencerme con argumentos analíticos de que $P_2 \sim P_{\infty}$ . ¿Alguien sabe de un mejor análisis?

Cuando el número de Reynolds se vuelve lo suficientemente alto, solo obtenemos argumentos de mano. En flujos de alta Re, la resistencia se debe principalmente a la caída de presión más que a la fricción superficial. Entonces su análisis de orden de magnitud es lo suficientemente bueno.

Fluir a través de un agujero en una esfera.

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Chet Miller

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