Obtener partículas de los campos: ¿problema de normalización o problema de localización?

También podría recopilar mis comentarios, la mayoría eliminados, en esta respuesta de memorándum.

Esencialmente, QFT no quiere que te acerques a los estados propios de posición del estilo de QM. El estado propio del operador de cantidad de movimiento,$|p\rangle$, no es el QM convencional, ni tiene la misma dimensión. Sin embargo, QFT claramente no anima a uno a buscar un operador de posición fantástico conjugado con el operador P enumerador (P&S (2.33)) que usa, y normaliza peculiarmente. Los ángeles deberían temer apropiadamente pisar allí.

El estado conjugado "casi" localizado correspondiente a este$|p\rangle$Llamaré

Schwartz imprudentemente etiqueta esto como$|x\rangle$, invitando a confundirlo con el estado QM estándar localizado en x por una función δ, que nadie usa, necesita o quiere, debido a paradojas desconcertantes del tipo que tienes. P&S usa sabiamente la constante de proporcionalidad y deja las cosas vagas y evocadoras, ¡pero no lograron evitar su pregunta! Es solo el estado único de una partícula centrado en x , con esta propiedad de normalización.

La dimensión de cantidad de movimiento del QM$|x\rangle$es 3/2, mientras que la de$|\tilde{x~}\rangle$es 1, lo contrario de la QFT$|p\rangle$utilizamos en el laboratorio.

Ahora, P&S (2.50-2.52) normaliza efectivamente$|\tilde{x~}\rangle$, que preferiría reescribir como

A pesar de la leve singularidad en el origen,$K_1(x)\to 1/x$como$x\to 0$, se corta rápidamente para un gran argumento x ,$\sqrt{\pi/2x} ~e^{-x}$. Entonces, los estados$|\tilde{x~}\rangle$no están tan completamente localizados en x como un QM de función δ arruina lo esperado, pero pierden todo el soporte fuera de 1-2 longitudes de onda Compton de la partícula en cuestión y están tan bien como localizados. En la figura de esta función de autocorrelación de paquetes de ondas de igual tiempo, r en la abscisa está en unidades de longitud de onda Compton:

Recuerde que los experimentos de dispersión viven efectivamente en el espacio de momento, detectando momentos y energías de objetos clásicos: perdigones BB en este nivel. (La información espacial en los detectores es solo un medio geométrico clásico para determinar los ángulos de los momentos). La QFT y el teorema de Wick ya se han ocupado de la interferencia QM, en esta etapa de detección de estados asintóticos.

Los Estados$|p\rangle$son virtualmente clásicas: no se comunican/interfieren entre sí, viviendo como lo hacen en sectores de superselección disjuntos del espacio Fock, completamente descoheridos. Así que el paquete de ondas$|\tilde{x~}\rangle$es virtualmente clásico, y su naturaleza cuántica solo es aparente cuando se opera con más campos cuánticos. En los experimentos de dispersión, uno nunca llega a sondear esta pequeña no localidad, del tamaño de un sub-fermi; pero, quién sabe, en la cosmología más antigua del big bang, uno bien podría contemplar hacerlo.

Estos paquetes de ondas son los verdaderos conjugados (de una partícula) de los estados propios de impulso (¡comprobar!),$\langle \tilde{x~}|p\rangle=e^{i{\mathbf x} \cdot {\mathbf p} }$. Pero tenga en cuenta que esto es simplemente una proyección de un solo componente p de un paquete de ondas clásico: ¡mero análisis clásico de Fourier!

Relacionado 287759 .