¿Cómo podemos probar que la función de correlación depende solo de la diferencia espacial si el hamiltoniano es invariante traslacionalmente?

Considere la QFT más simple, a saber, el campo escalar libre. La ecuación de movimiento (en la imagen de Heisenberg) es

$$(\partial_t^2-\nabla^2 +m^2)\phi(t,\mathbf{x})=0 \tag{1}$$ y las relaciones de conmutación de igual tiempo son $$\begin{gather} [\phi(t,\mathbf{x}),\,\dot\phi(t,\mathbf{y})] =i\delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y}) \\ [\phi(t,\mathbf{x}),\,\phi(t,\mathbf{y})]=0 \hskip2cm [\dot\phi(t,\mathbf{x}),\,\dot\phi(t,\mathbf{y})]=0. \tag{2} \end{gather}$$ Queremos construir un operador unitario$U(\mathbf{x})$que satisface $$U(\mathbf{x})\phi(t,\mathbf{0})U^\dagger(\mathbf{x})= \phi(t,\mathbf{x}), \tag{3}$$ que es la definición del operador de traducción. Los operadores de cantidad de movimiento$P_k$son los generadores hermitianos del grupo de traducción (por definición nuevamente), por lo que $$U(\mathbf{x})=\exp(i\mathbf{x}\cdot \mathbf{P}) \hskip2cm \mathbf{x}\cdot \mathbf{P}\equiv\sum_k x_k P_k. \tag{4}$$ en unidades donde$\hbar=1$. Tome el gradiente de (3) con respecto a$x_k$Llegar $$[P_k\,\phi(t,\mathbf{x})]=-i\nabla_k\phi(t,\mathbf{x}). \tag{5}$$ Esta es la propiedad definitoria de los operadores.$P_k$. Lo que queremos, sin embargo, es una expresión explícita para$P_k$en términos de los operadores de campo. En general, podemos usar el teorema de Noether para obtener una expresión para$P_k$en términos de los operadores de campo. O, en lugar de pasar por el teorema de Noether, podemos escribir un ansatz y luego demostrar que funciona. (El segundo enfoque es más fácil cuando ya sabemos la respuesta, y dado que ya sé la respuesta, usaré el segundo enfoque aquí). Las relaciones de conmutación (2) implican que el operador $$P_k=\int d^3x\ \dot\phi(t,\mathbf{x})\nabla_k \phi(t,\mathbf{x}) \tag{6}$$ es hermitiano y satisface la condición (5), por lo que este ansatz funciona. La ecuación (6) expresa los operadores de cantidad de movimiento en términos de los operadores de campo, y luego la ecuación (4) da los operadores de traslación. Si los operadores de campo se escriben en términos de los operadores habituales de creación/aniquilación, entonces (6) se convierte en $$P_k\propto \int d^3p\ p_k a^\dagger(\mathbf{p})a(\mathbf{p}). \tag{7}$$ El cargo

Derivación del operador de cantidad de movimiento total QFT

escribe este último paso un poco más explícitamente. Ver también la ecuación (2.21) en

• "Capítulo 2: Cuantización del campo escalar" ( http://cftp.ist.utl.pt/~gernot.eichmann/2015-qft ),

que es una de las primeras fuentes que encontré en una búsqueda rápida de "operador de momento en QFT".

---

Las ecuaciones anteriores explican cómo expresar$U(\mathbf{x})$en términos de los operadores de campo. Para abordar la pregunta original acerca de por qué la función de correlación de dos puntos es invariante en la traducción, solo necesitamos las ecuaciones (3) y (4), junto con la suposición de que el estado fundamental$|G\rangle$es traducción-invariante:$U(\mathbf{x})|G\rangle=|G\rangle$. Esto da

$$\begin{align} \langle G|\phi(\mathbf{x})\phi(\mathbf{x'})|G\rangle &= \langle G|U(\mathbf{x})\phi(\mathbf{0})U^\dagger(\mathbf{x}) U(\mathbf{x'})\phi(\mathbf{0})U^\dagger(\mathbf{x'})|G\rangle \\ &= \langle G|\phi(\mathbf{0}) U(\mathbf{x'}-\mathbf{x})\phi(\mathbf{0})|G\rangle, \end{align}$$ lo que demuestra que la función de correlación depende únicamente de$\mathbf{x'}-\mathbf{x}$.