Interpretación Física del Lagrangiano de Campo EM

Usando formas diferenciales y sus interpretaciones de imágenes , me pregunto si es posible dar una buena motivación geométrica y física para la forma de la densidad electromagnética de Lagrange.

El Lagrangiano para el campo electromagnético sin fuentes de corriente en términos de formas diferenciales es$F \wedge * F$, dónde$F$es la derivada exterior de un 4 potencial$A$. Otra forma de decir esto es que$F$es el rotacional de cuatro dimensiones de un potencial de 4$A$, es decir, la parte antisimétrica del flujo del determinante del jacobiano de un campo vectorial $A$, y dado que podemos interpretar físicamente el rotacional de un campo vectorial como la rotación instantánea de los elementos de volumen que$A$actúa, parece como si pudiéramos interpretar diferentes$F \wedge * F$como diciendo que estamos tratando de minimizar el volumen de rotación instantáneo de cuatro dimensiones del campo electromagnético (dado que el dual de Hodge en 2 formas da 2 formas 'perpendiculares' a las originales, encajar una forma con su dual nos da un volumen 4-d , por lo que aquí obtenemos la rotación de un elemento de volumen en el espacio-tiempo).

¿Es eso correcto?

También está la cuestión de definir la misma acción solo en diferentes espacios, usando$F_{ij}F^{ij}$y entonces debe existir una interpretación similar... Si interpreto$F_{ab}$como he interpretado$F$anterior, es decir, un rizo 4-d, y$F^{cd}$de manera similar, solo en el espacio dual, luego, para obtener un escalar de estos, tengo que tomar el rastro del producto matricial $F_{ab}F^{cd}$, que me parece que puede interpretarse como la divergencia del volumen de rotación, por lo que minimizar la acción parece decir que estamos minimizando el flujo de rotación por unidad de volumen.

¿Es esto correcto?

Si estas interpretaciones son válidas de alguna manera, ¿alguien puede sugerir una interpretación similar para el$A_idx^i$término en el Lagrangiano, ya sea cuando obtenemos la ley de fuerza de Lorentz o las otras ecuaciones de Maxwell? ¡Pensar vagamente en interpretar este término en términos de corriente y obtener las ecuaciones de Maxwell sugiere que lo que he escrito anteriormente tiene al menos algo de validez!

Curiosamente, si es correcto, me imagino que todo esto tiene una interpretación global fantástica en términos de haces de fibra, si alguien ve una relación que sería interesante.

(La página 9 de este pdf es donde obtengo esta interpretación de divergencia y curvatura a través del jacobiano, y la mezclo con la interpretación geométrica de formas diferenciales ala Gravitación de MTW)

Entiendo la derivación matemática de Landau de la$F_{ij}$tensor de campo, escalar invariante de Lorentz equivalente al producto interno de Minkowski, linealidad del MOE y eliminación de la dependencia directa de los potenciales, pero falta motivación física para su forma. Dado que uno puede interpretar vagamente minimizar$\mathcal{L} = T - V$como minimizando el exceso de energía cinética sobre potencial en el camino de una partícula, y para una partícula libre simplemente minimizando la energía, no veo por qué no se puede dar una interpretación flexible del Lagrangiano EM. Cualquier pensamiento es bienvenido.

Referencias:

1. Matemáticas 733: campos vectoriales, formas diferenciales y cohomología, apuntes de clase, R. Jason Parsley
2. Warnick, Selfridge, Arnold - Enseñanza de la teoría del campo electromagnético utilizando formas diferenciales