¿Cuál es el razonamiento detrás de estos argumentos en QFT?

En el libro Quantum Field Theory and the Standard Model al calcular los diagramas de polarización de vacío en escalar QED y después de algunas páginas en QED, el autor usa algunos argumentos manuales para calcular algunas integrales que realmente no puedo entender .

La primera es esta:

La adición de los diagramas da

$$i\Pi^{\mu\nu}_2=-e^2\int \dfrac{d^4k }{(2\pi)^4}\dfrac{-4k^\mu k^\nu+2p^\mu k^\nu+2p^\nu k^\mu-p^\mu p^\nu+2g^{\mu\nu}[(p-k)^2-m^2]}{[(p-k)^2-m^2+i\epsilon][k^2-m^2+i\epsilon]}$$

Afortunadamente, no necesitamos evaluar toda la integral. Al observar qué posible forma podría tener, podemos aislar la parte que contribuirá a una corrección de la ley de Coulomb y simplemente calcular esa parte. Por invariancia de Lorentz, la forma más general que$\Pi^{\mu\nu}_2$podría tener es

$$\Pi^{\mu\nu}_2=\Delta_1(p^2,m^2)p^2 g^{\mu\nu}+\Delta_2(p^2,m^2)p^\mu p^\nu$$

Después de discutir la relación entre$\Pi^{\mu\nu}_2$y el propagador vestido$G^{\mu\nu}$el autor lo escribe como (en calibre Feynman)

Luego dice que:

A continuación tenga en cuenta que el$\Delta_2$el término es solo un cambio de calibre: proporciona una corrección al parámetro de calibre no físico$\xi$en calibres covariantes. Desde$\xi$cae fuera de cualquier proceso físico, por invariancia de calibre, por lo que$\Delta_2$. Por lo tanto, solo necesitamos calcular$\Delta_1$. Esto significa extraer el término proporcional a$g^{\mu\nu}$en$\Pi^{\mu\nu}$.

La mayoría de los términos en la amplitud en la ecuación. (16.24) no puede dar$g^{\mu\nu}$. por ejemplo, el$p^\mu p^\nu$término debe ser proporcional a$p^\mu p^\nu$y por lo tanto sólo puede contribuir a$\Delta_2$, por lo que podemos ignorarlo. Para el$p^\mu k^\nu$término, podemos tirar$p^\mu$fuera de la integral, por lo que cualquiera que sea la integral restante, debe proporcionar una$p^\nu$por la invariancia de Lorentz. Por lo tanto, estos términos también pueden ignorarse. El$k^\mu k^\nu$término es importante - puede dar una$p^\mu p^\nu$pieza, pero también puede dar una$g^{\mu\nu}$pieza, que es lo que buscamos. Por lo que solo debemos considerar

$$\Pi^{\mu\nu}_2=ie^2\int\dfrac{d^4k}{(2\pi)^4}\dfrac{-4k^\mu k^\nu+2g^{\mu\nu}[(p-k)^2-m^2]}{[(p-k)^2-m^2+i\epsilon][k^2-m^2+i\epsilon]}$$

Tengo tres problemas aquí:

1. Primero no puedo entender por qué$\Pi^{\mu\nu}_2$debe tener esa forma. Desde$p$aparece en la integral como parámetro, entiendo que$\Pi^{\mu\nu}_2$es una función de$p$, pero por qué debe tener esa forma y qué tiene que ver con la invariancia de Lorentz, simplemente no puedo entenderlo. El argumento de que "puesto que lo único disponible es$p^\mu$los dos únicos tensores con los índices que podemos construir son$g^{\mu\nu}$y$p^\mu p^\nu$"Me parece un gesto de mano.

2. En segundo lugar, no puedo entender por qué, en función de la invariancia de calibre, el autor deja caer el$\Delta_2$término. Quiero decir que solo está poniendo a cero un montón de integrales, esto no tiene mucho sentido para mí. Quiero decir, él está tomando todos los términos que contribuyen a$\Delta_2$y haciendo que cada uno de ellos sea cero individualmente. ¿Por qué no podía simplemente su suma ser cero? ¿Cuál es el punto aquí?

3. Finalmente, no puedo entender su análisis de qué términos se pueden establecer en cero en función de arrojar$\Delta_2$afuera. Sé que si factorizamos un$p^\mu p^\nu$la integral sera un escalar multiplicándolo, pero por que la integral con uno$p^\mu$factorizado debe por la invariancia de Lorentz dar algo proporcional a$p ^\nu$?