La solución al laplaciano 2D en coordenadas polares produce una solución compleja

Estaba estudiando un libro de texto: Fundamentos físicos de la acústica técnica (referenciado por un trabajo de investigación) e intenté resolver el Laplaciano de una ecuación de onda siguiendo los pasos dados. Era la ecuación (2.35) de la página 29:

$$\nabla^2 \Phi = {\frac 1r^2} {\frac\partial {\partial r}} \left(r^2 {\frac{\partial \Phi} {\partial r}}\right)+ {\frac 1{r^2\sin \theta}} {\frac\partial {\partial \theta}} \left(\sin \theta {\frac{\partial \Phi} {\partial \theta}}\right)$$

Seguí el método de separación de variables, pero encontré un obstáculo cuando estaba volviendo a juntar las soluciones, siguiendo la ecuación (2.42) de la página 32. El libro usa la onda esférica de orden cero y la sustituye$j_0 ,p_0,$y$h_0^{(2)} (kr)$.

Usando la ecuación (2.42a),

$$h_m^{(2)} (kr) = j_m(kr)+i n_m(kr),$$

Obtuve:

$${\frac {A_0}{kr}(\sin(kr)-i\cos (kr))e^{i\omega t}}$$

Que, en notación compleja:

$${\frac {A_0}{kr}(ie^{-ikr})e^{i\omega t}}$$

(Por que es$i$unido al exponente$e$? De acuerdo con los resultados a continuación, no debería estar allí).

Los resultados no concuerdan con la solución dada por la ecuación (2.43) en la página 34:

$${\frac {a\Phi_\textrm{max}}{r}e^{i(\omega t-kr-\phi)}}$$

Ahora la pregunta: ¿Por qué la solución es diferente y mi respuesta tiene una unidad imaginaria, lo que hace que la solución sea imaginaria? ¿Cometí un error fatal?

Pregunta secundaria: ¿Cómo$\frac {A_0}{kr}$convertirse$\frac {a\Phi_\textrm{max}}{r}$(¿dónde hizo el$k$ir?) y cómo funciona el$\phi$aparecer en la solución?

Parece que si pongo el valor de la función de Bessel$j_0$en la función de Neumann en la ecuación (2.42a) y viceversa, obtendré una solución similar a la solución del libro excepto con las constantes. Esto también se aplica a otra solución en el libro con ondas de primer orden.

Glosario:$j_m$función de Bessel,$n_m$función de Neumann,$h_m^{(2)}$Función de Hankel.

Nota: he dado un enlace de books.google para el libro. Las páginas a las que hice referencia son accesibles.