Usando números complejos para representar ondas [duplicar]

Tenemos

$$\begin{align} E(r,t) &= E_0 \cos(kr - \omega t - \phi)\\ &=E_0\left(e^{i(kr-\omega t -\phi)} + e^{-i(kr - \omega t + \phi)} \right)\\ &= \tilde{E}_0 e^{i(kr-\omega t)} + \tilde{E}^* e^{-i(kr-\omega t)}\\ &= E^{(+)} + E^{(-)} \end{align}$$

Tenga en cuenta que he establecido$\tilde{E}_0 = E_0 e^{-i\phi}$.

Por (una elección particular de) convención, el primer término se denomina término de frecuencia positiva y el segundo término se denomina término de frecuencia negativa.

Como se ha mencionado, si está agregando ondas o realizando otras manipulaciones lineales, puede eliminar el término de frecuencia negativo y simplemente trabajar con el positivo, agregando el término de frecuencia negativo correspondiente al final del cálculo para recuperar una respuesta final real .

Si está confundido, le recomiendo realizar las manipulaciones que he mostrado anteriormente para que tenga una expresión en términos de exponenciales complejos en lugar de senos y cosenos. Sin embargo, en lugar de eliminar la parte giratoria negativa como se recomienda a menudo (algo misteriosamente) en mis cursos y libros de texto, siga adelante y consérvela. Ahora tiene dos términos para arrastrar en lugar de uno, pero verá que es más fácil realizar manipulaciones en las expresiones complejas en lugar de las expresiones sinusoidales. También verá que cada vez que hace algo con el término de frecuencia positiva, básicamente hace lo complejo conjugado con el término de frecuencia negativa. Luego, si insistes, puedes tomar la intuición que has construido para comprender que en algunas circunstancias puedes eliminar el término de frecuencia negativa para que tengas menos cosas que escribir.

Como ejemplo práctico intenta responder a la siguiente pregunta:

¿Cuál es la amplitud y la fase de la onda que es la suma de las dos ondas siguientes:

$$\begin{align} E_1(r,t) &= E_1 \cos(kr-\omega t -\phi_1)\\ E_2(r,t) &= E_2 \sin(kr - \omega t + \phi_2) \end{align}$$

Esto se puede resolver en forma sinusoidal usando identidades trigonométricas para sumas y diferencias dentro de senos y cosenos. También se puede resolver usando exponenciales complejas como se describe arriba. Recomiendo hacerlo de las dos formas para ver las diferencias.

Finalmente, para realmente poner el clavo en el ataúd de esta representación sinusoidal versus exponencial, recomiendo usar las fórmulas exponenciales para derivar las identidades trigonométricas necesarias para resolver el ejercicio anterior. Estas identidades trigonométricas pueden derivarse alternativamente de consideraciones geométricas y dibujar triángulos divertidos y etiquetar los lados, pero me cuesta mucho hacerlo de esa manera. Una vez que te acostumbres, es bastante simple probarlos usando la representación exponencial como espero que descubras.

editar: permítame agregar un poco más para abordar directamente su pregunta: pregunta cómo sabemos que la parte compleja no se volverá real e influirá en la respuesta. Lo que debe tener en cuenta es que cuando trabaja en la representación compleja (después de haber ignorado la parte de frecuencia negativa), la complejidad de la expresión es realmente crítica para capturar la fase de la onda. De hecho, lo que debería preocuparle es "¿cómo sabemos que la parte de frecuencia negativa no desarrollará una parte de frecuencia positiva y afectará la respuesta?" La respuesta es que si todas las operaciones son lineales, solo se ven afectados los coeficientes de las exponenciales, nunca los argumentos de las exponenciales que contienen los términos de fase y frecuencia. Sin embargo, si comienza a multiplicar ondas (digamos que mezclando señales homo/heterodinadas o observando otros procesos no lineales) verá que los términos aparecen con diferentes factores en la exponencial que los que tenía originalmente. En este caso, no recomendaría descartar los términos de frecuencia negativa, ya que fácilmente podría pasar algo por alto.

Para resumir: En la representación sinusoidal la información relevante está contenida en las amplitudes y fases de los senos y cosenos y en la representación compleja la información relevante está contenida en la amplitud (compleja) de los coeficientes de los términos de frecuencia positiva y negativa, teniendo en cuenta tenga en cuenta que la información en el coeficiente del término de frecuencia positivo es redundante con la información en el coeficiente de frecuencia negativo ya que esos dos términos son complejos conjugados entre sí.

En realidad, la parte imaginaria de$e^{i\omega t}$, es decir, el$\sin(\omega t)$parte, eventualmente puede producir un componente real ya que no hay garantía de que$\vec E_0$es real. Esto sucede, por ejemplo, en las ondas E&M donde, dado un campo eléctrico en la forma

$$\vec E_c=\hat x E_0 e^{-\alpha z} e^{-i \beta z} e^{i\omega t}$$ con el campo eléctrico físico $$\vec E=\hat x E_0 e^{-\alpha z} \cos(\omega t-\beta z)\, ,$$ (estoy usando el subíndice$c$para indicar la naturaleza compleja de la cantidad) el campo magnético es de la forma $$\vec H_c=\frac{\hat y}{\eta}e^{-\alpha z} e^{-i \beta z}e^{i\omega t} =\frac{\hat y}{\vert\eta\vert }e^{-\alpha z} e^{-i \beta z}e^{i\omega t}e^{-i\theta_\eta}$$ dónde $\eta=\vert \eta\vert e^{i\theta_\eta}$es la impedancia compleja efectiva del medio.

Puedes escribir entonces la parte real como

$$\begin{align} \vec H&=\frac{\hat y}{\vert \eta\vert}e^{-\alpha z} \cos(\omega t-\beta z-\theta_\eta)\, ,\\&= \frac{\hat y}{\vert \eta\vert}e^{-\alpha z} \left(\cos(\omega t-\beta z)\cos(\theta_\eta)+\sin(\omega t-\beta z)\sin(\theta_\eta)\right)\, . \end{align}$$ Sin embargo, el punto clave es que la aparición de un seno y un coseno simplemente indica que hay un cambio de fase, dado por $\theta_\eta$entre los campos eléctrico y magnético.

El mismo tipo general de situación ocurre en los circuitos LRC, ya que puede haber un cambio de fase entre el voltaje y la corriente.