¿Mecánica hamiltoniana y conservación de la energía?

La evolución temporal de cualquier cantidad.$F(q(t),p(t);t)$, dónde$q,p$denotan las posiciones generalizadas y los momentos, se pueden escribir usando la regla de la cadena, las ecuaciones de Hamilton y el corchete de Poisson$\{\cdot,\cdot\}$:

$\frac{\mathrm dF}{\mathrm dt} = \sum_i\left[\frac{\partial F}{\partial q_i}\dot q_i+\frac{\partial F}{\partial p_i}\dot p_i\right]+\frac{\partial F}{\partial t} = \sum_i\left[\frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right]+\frac{\partial F}{\partial t} = \{F,H\}+\frac{\partial F}{\partial t}$.

Una ecuación similar llamada teorema de Ehrenfest también se cumple en la mecánica cuántica, donde se considera la evolución temporal de los valores esperados y el soporte de Poisson se reemplaza por el conmutador.

En particular, para$F=H$uno ve inmediatamente que$\frac{\mathrm dH}{\mathrm dt}=\frac{\partial H}{\partial t}$como$\{H,H\}=0$. Por lo tanto, para un hamiltoniano sin dependencia temporal explícita, es decir, cuando no se introduce energía externa en el sistema, la energía total se conserva.

Recuerda que decimos una cantidad física$Q$se conserva siempre que su valor no cambie con el tiempo a medida que evoluciona un sistema. Matemáticamente, una cantidad física es solo una función que asigna un número$Q(q,p,t)$a cada estado (punto en el espacio de fase más el tiempo) del sistema en cuestión, por lo que la conservación de tal cantidad se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera:

el hamiltoniano$H$y energía total$E$de un sistema dado son dos de esas cantidades. Hay una gran clase de sistemas para los cuales el hamiltoniano y la energía total son iguales, a saber$H=E$. En tales sistemas, la energía del sistema se conserva si y solo si se conserva el hamiltoniano del sistema.

Si la derivada temporal del hamiltoniano es igual a cero, el hamiltoniano se conserva. es decir, si el paréntesis de Poission (H,H)+derivada de tiempo parcial de H = 0, el hamiltoniano se conserva. Si se conserva el hamiltoniano, se conserva la energía.