¿Cómo obtener el interés devengado desde el inicio del pago hasta una fecha específica en un saldo decreciente?

La fórmula que necesitas es

interest = (d+d q-r s-(1+q) (1+r)^x (d-r s)+d r x)/r

dónde

d is the monthly payment
r is the monthly rate = 0.08/12
s is the principal = 70000
x is the number of complete months = 2
q is the interest factor for the incomplete month = Int. Rate * days / 360

Obtención del monto del pago mensual dutilizando la fórmula de pago del préstamo

d = r s/(1 - (1 + r)^-n)dónden = 36 months

∴ d = 70000 r/(1 - (1 + r)^-36) = 2193.55

Tomando la especificación del OP para el interés adeudado

q = Int. Rate * days / 360 = 0.08 * 15/360

y aplicando la formula

interest = (d + d q - r s - (1 + q) (1 + r)^x (d - r s) + d r x)/r = 1143.6

El interés devengado de enero al 15 de marzo es de 1143,6

Para explicar y demostrar el método, primero obtenga el interés solo por los dos primeros meses

x = 2
q = 0
interest = (d + d q - r s - (1 + q) (1 + r)^x (d - r s) + d r x)/r = 921.821

Cheque: los dos primeros meses de interés =70000 r + (70000 (1 + r) - d) r = 921.821

El saldo después de dos meses =(70000 (1 + r) - d) (1 + r) - d = 66534.7

15 días de interés sobre el saldo =66534.7 * 0.08 * 15/360 = 221.782

interest = 921.821 + 221.782 = 1143.6que coincide con el resultado de la fórmula.

Otro ejemplo: intereses pagados después de 20 meses y 10 días.

x = 20
q = 0.08 * 10/360
interest = (d + d q - r s - (1 + q) (1 + r)^x (d - r s) + d r x)/r = 7129.67

Derivación de la fórmula

Aquí está el cálculo a mano que conduce a la fórmula resultante.

r es la tasa mensual, s es el principal, n es el número de meses y d es el pago mensual

r = 0.08/12
s = 70000
n = 36

d = (r (1+r)^n s)/(-1+(1+r)^n) = 2193.55

Cálculo de intereses para cada mes y el saldo de fin de mes.

int[jan2016] = 70000 r

466.667

end[jan2016] = 70000 (1 + r) - d

68273.1

int[feb2016] = end[jan2016] r

455.154

end[feb2016] = end[jan2016] (1 + r) - d

66534.7

Cálculo de los intereses a 15 días sobre el saldo. Se puede utilizar un método aproximado como Int. Rate * days / 360. Aquí, en cambio, he tomado la tasa diaria como la raíz 365 de la tasa efectiva anual :) (1 + Int. Rate/12)^(days 12/365) - 1que es como normalmente obtendría una tasa diaria.

int[mar15th2016] = end[feb2016] ((1 + r)^(15*12/365) - 1)

218.376

Intereses de enero al 15 de marzo= 466.667 + 455.154 + 218.376 = 1140.2

Resolviendo la ecuación de recurrencia

La solucion de end[x + 1] = end[x] (1 + r) - ddonde end[0] = sesta

pn = (d-d (1+r)^x+r (1+r)^x s)/r

Esto se puede usar para encontrar el saldo después de cualquier xnúmero de meses completos.

with x = 1
p1 = pn = 68273.1
int1 = p1 + d - s = 466.667

with x = 2
p2 = pn = 66534.7
int2 = p2 + d - p1 = 455.154

int3 = p2 ((1 + r)^(15*12/365) - 1) = 218.376

Intereses de enero al 15 de marzo= int1 + int2 + int3 = 1140.2

Extendiendo la fórmula

La solución de recurrencia se puede utilizar en una suma para el interés después de xmeses completos.

La forma cerrada para la suma se puede encontrar por inducción.

bx = (d (1+x r-(1+r)^x)+r (-1+(1+r)^x) s)/r

with x = 2
b2 = bx = 921.821

total = b2 + p2 ((1 + r)^(15*12/365) - 1) = 1140.2

fórmula final

Juntando las fórmulas bx& pny simplificando, con qcomo factor de interés para los 15 días impares.

q = (1 + r)^(15*12/365) - 1

x = 2

bx = (d (1 + x r - (1 + r)^x) + r (-1 + (1 + r)^x) s)/r
pn = (d - d (1 + r)^x + r (1 + r)^x s)/r

total = bx + pn q = (d (1 + x r - (1 + r)^x) + r (-1 + (1 + r)^x) s)/r +
                    q (d - d (1 + r)^x + r (1 + r)^x s)/r

∴ total = (d+d q-r s-(1+q) (1+r)^x (d-r s)+d r x)/r = 1140.2

Y alternativamente, con el método de OP para calcular el devengo diario.

q = 0.08 * 15/360

total = (d+d q-r s-(1+q) (1+r)^x (d-r s)+d r x)/r = 1143.6

Si usted sabe:

- S:  the original balance of the loan at the start. 70000)
- C:  the current balance of the loan. (69000)
- P:  the total amount of payments made. (3000)

Para saber cuánto de interés:

I = P- (S - C) = 3000 - (70000 - 69000) = 3000 - 1000 = 2000