Dos definiciones de términos topológicos en la teoría de campos

Siempre se requiere que los términos topológicos de todo tipo no dependan de la métrica, por lo que sus integrales corresponderán a invariantes topológicos, que sirven como cargas topológicas en la teoría cuántica de campos.

Sin embargo, es importante distinguir entre dos tipos de términos topológicos mencionados en la pregunta, porque conducen a diferentes consecuencias físicas. Consulte las conferencias de Deligne-Freed sobre teorías de campo clásicas.

El primer tipo ($\theta$-términos) ocurre cuando uno toma una forma cerrada en el espacio objetivo de rango igual a la dimensión del espacio base$\mathcal{M}$:

$$\omega(y) = \omega_{\alpha_1 …\alpha_n} dy^{\alpha_1}\wedge… dy^{\alpha_n}$$

llévelo de regreso al espacio base e integre:

$$\int_{\mathcal{M}}\omega_{\alpha_1 …\alpha_n} \frac{\partial y^{\alpha_1}}{ \partial x^{\beta_1}}… \frac{\partial y^{\alpha_n}}{ \partial x^{\beta_n}} dx^{\beta_1}\wedge… dx^{\beta_n}$$

La integración de este formulario no requiere una métrica.

Una subclase importante de este tipo de términos$\omega$es un representante de una clase característica (consulte la sección 7.22 de Nash y Sen ) de un haz de fibras sobre el espacio objetivo. En este caso, el término topológico se puede agregar al Lagrangiano en un espacio base de dimensión uniforme.$\theta$-términos son cargas topológicas de instantones, y su inclusión en el Lagrangiano es equivalente a elegir un$\theta$-vacío. Prototipos de este tipo de términos topológicos son los$\theta$- término de QCD y el número de bobinado en el$\mathbb{C}P^1$modelo.

El segundo tipo de términos topológicos constituye retrocesos a la variedad base de clases de características secundarias (consulte la página 223 de Nash ). Estas clases viven en dimensiones extrañas. Están cerrados solo cuando la conexión del manómetro es un manómetro puro. En este caso se componen de holonomías (fases de Berry) de conexiones de calibre y versiones superiores de las cuales en dimensiones superiores.

A diferencia de las clases de características que clasifican haces de fibras en variedades, las clases de características secundarias clasifican haces de fibras planas. Los prototipos de términos topológicos asociados con clases de características secundarias son el término de interacción electromagnética de una partícula cargada (en 1D) y el término de Chern-Simons (en 3D). El caso de calibre puro corresponde a un potencial de Aharonov-Bohm en 1D y un término de Wess-Zumino-Witten en 3-D.