La transformada de Laplace y la idea del análisis en el dominio de la frecuencia

Aplicar una entrada sinusoidal a, por ejemplo, un sistema estable, SISO, LTI producirá una salida con un componente transitorio y un componente de estado estable. El transitorio hace lo que hacen todos los transitorios: se reduce a cero después de cierto tiempo. El componente de estado estable es una onda sinusoidal a la misma frecuencia que la sinusoide de entrada pero, generalmente, con una amplitud diferente y también un cambio de fase con respecto a la entrada.

Resulta (ver numerosas referencias) que la respuesta sinusoidal de estado estacionario (o 'respuesta de frecuencia') se puede obtener de la función de transferencia del sistema mediante la simple sustitución algebraica:$\small s\rightarrow j\omega$. Y, por lo tanto, el dominio de la frecuencia es extremadamente accesible desde el dominio s. El dominio del tiempo, por ejemplo, no es tan fácil de acceder ya que requiere la transformada inversa de Laplace.

Para usar su ejemplo, si un sistema tiene TF$\small G(s)=\large \frac{1}{s}$, la ganancia en el dominio de la frecuencia y el ángulo de fase serían:$\frac{1}{\omega}$y$\small -\frac{\pi}{2}$, respectivamente.

Desde una perspectiva de señal, más que de sistema, la señal de escalón unitario,$\small H(t)$, tiene el mismo LT que el sistema anterior, a saber:$\small H(s)=\large \frac{1}{s}$, y en el dominio de la frecuencia esto se asigna al espectro positivo$\small H(j\omega)=\large\frac{1}{j\omega}$, y tiene amplitud$\frac{1}{\omega}$, y un ángulo de fase de$\small -\frac{\pi}{2}$en relación con una onda sinusoidal nocional,$\small sin(\omega t)$

Sin argumentos duros, sino un intento de hacerlo plausible:

La Transformada de Laplace y la Transformada de Fourier son muy similares.
La diferencia es solo la frontera de integración y el factor adicional$i$(o si lo prefieres$j$). La transformada de Laplace es más general en la medida en que$s$es complejo.

Para la transformada de Fourier, supongo que es obvio por qué el "otro" dominio se llama dominio de frecuencia. Las pequeñas diferencias entre los dos no justifican por qué el$s$-el dominio de la transformada de Laplace no debería llamarse también dominio de frecuencia.

Es similar al caso de la oscilación amortiguada (por ejemplo, circuitos RLC) donde también es común usar el concepto de una frecuencia compleja que combina la frecuencia "común" (oscilación) y la amortiguación.

Las 2 formas principales de representar un sistema en el dominio de la frecuencia son usando 1) la transformada de Foruier y 2) la transformada de Laplace. Laplace está un poco más adelantado que Fourier, mientras que Foruier representa cualquier señal en forma de sinusoides, Laplace representa cualquier señal en forma de sinusoides amortiguados. El factor S = alfa + jw, mientras que en Fourier solo tienes jw. En otras palabras, también podrías decir que cuando Xeta = 0 tienes la respuesta de Fourier de Laplace. Esta xeta agrega una función exponencial a tu sinusoide ya existente. (jw) . Entonces, ¿qué sucede cuando agrega estos 2? Obtiene una sinusoide amortiguada. ¿Qué ventaja tiene esto? ¡Representar la respuesta de magnitud en Laplace te da los polos que también son la respuesta natural del sistema! También le da una idea de la respuesta transitoria del sistema junto con la respuesta de frecuencia. Pero para su otra pregunta sobre por qué la respuesta escalonada es 1/S, F(s) =(Límite integral de 0 a infinito) f(t)e^(-st) dt. Así que sustituya f(t) = 1, ya que ese es el caso de una función de paso, obtendrá la respuesta como 1/S donde S=alfa + Jw. Todavía no dice que el paso tiene una frecuencia, solo dice que está representado en esta forma. Entonces, si pones w = 0, entonces no tiene una frecuencia. Esto es lo que pienso, es solo una forma de representación del paso.

Pero tomemos por ejemplo la transformada de Laplace de la función escalonada u(t) = 1; t>=0 , que es 1/s, la función de paso tiene una frecuencia de 0 y no veo cómo 1/s representa un "dominio de frecuencia equivalente de la función".

1/s te dice que el espectro es infinito pero cae como el recíproco de s, es decir, en S = 10 la amplitud puede ser 0,1 pero en s = 100 la amplitud es 0,01. Aquí hay algunos otros ejemplos comunes (el escenario de cambio de paso es el cuarto hacia abajo): -

Mi pregunta es una especie de intento de comprender completamente la idea matemática detrás de la transformada de Laplace y cómo se relaciona con las propiedades físicas reales de los sistemas de control y las señales que los impulsan y agradezco a cualquiera que comparta su perspectiva.

He olvidado la mayor parte, pero lo que recuerdo es que es demasiado para cubrir en este sitio.

La respuesta está oculta en s=jw donde w se deriva de omega, es decir, sobre la frecuencia, j es el número imaginario y s es el laplace s