Corriente en R1R1R{_1} del divisor de resistencia con capacitor

Question

Corriente en R1R1R{_1} del divisor de resistencia con capacitor

Física
condensador
sistema de control
análisis de circuitos
Transformada de Laplace

riccs_0x

Dado el sistema calcular la corriente en $R_{1}$ ,

R_{1} = R_{2} = 10 k Ω

$R_{1}=R_{2}=10k\Omega$ y

C = 1.2 m F

$C=1.2\mu F$ . Bueno, tengo dos enfoques.

Cuando el capacitor esté completamente cargado, abrirá el circuito y habrá un divisor de voltaje

Entonces

V_{R_{1}} = 20_{V} \frac{10 k Ω}{20 k Ω} = 10_{V}

$V_{R_{1}}=20_V\frac{10k\Omega}{20k\Omega}=10_V$
y luego

I_{R 1} = \frac{10_{V}}{10 k Ω} = 1 metro A

$I_{R{1}}=\frac{10_V}{10k\Omega}=1mA$

Modele el sistema, calcule la respuesta al escalón y tendrá el voltaje del capacitor, entonces
$V_{C} = V_{R_{2}}$ $V_{C}=V_{R_2}$ y luego $V_{R 1} = V - V_{C}$ $V_{R1}=V-V_{C}$ Modelo de sistema: $\frac{V (t)}{R_{1} C} = \dot{V_{C}} + \frac{1}{C} (\frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}}) V_{C}$ $\frac{V(t)}{R_{1}C}=\dot{V_{C}}+\frac{1}{C}(\frac{R_1+R_2}{R_1R_2})V_{C}$ la constante de tiempo:
$τ = C (\frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}) = 0.006 s$ $\tau=C(\frac{R_1R_2}{R_1+R_2})=0.006s$ tomando la transformada de Laplace con la entrada dada y aplicando los valores de los componentes $1666.6 \frac{1}{s} = V_{C (s)} - V_{C (0)} + 166.6 V_{C (s)}$ $1666.6\frac{1}{s}=V_{C(s)}-V_{C(0)}+166.6V_{C(s)}$ Agrupando, calculando el desarrollo en fracciones parciales y tomando la transformada inversa de Laplace: $\frac{1666.6}{s (s + 166.6)} = V_{C (s)}$ $\frac{1666.6}{s(s+166.6)}=V_{C(s)}$ $V_{C} = \frac{10.0036}{s} + \frac{- 10.0036}{s + 166.6} = 10.0036 - 10.0036 {mi}^{- 166.6 t}$ $V_{C}=\frac{10.0036}{s}+\frac{-10.0036}{s+166.6}=10.0036-10.0036e^{-166.6t}$ con $t \geq 0$ $t\geq0$ y cuando $\underset{t \to \infty}{límite V_{C}} = 10.0036 V$ $\underset{t\rightarrow\infty}{\lim V_{C}}=10.0036V$ entonces (otra vez) $V_{R 1} = V - V_{C}$ $V_{R1}=V-V_{C}$ $V_{R 1} = 20 V - 10.0036 V = 9.9964 V$ $V_{R1}=20V-10.0036V=9.9964V$ $I_{R 1} = \frac{{9.9964}_{V}}{10 k Ω} = 0.00099964 A$ $I_{R{1}}=\frac{9.9964_V}{10k\Omega}=0.00099964A$ o $I_{R 1} \approx 1 metro A$ $I_{R{1}}\approx1mA$

Hice un gráfico de la respuesta. OK, espero que esto pueda ser revisado y señale cualquier error o comentario si esto se hizo bien. Gracias de antemano.

Tony Estuardo EE75

se ve bien. ahora repite hasta que puedas hacerlo en tu cabeza en 10s. 63%Vin en ReqC hacia I= V/Rtot

Jim Dearden

Con solo una simple inspección, no puede obtener el voltaje a través del capacitor a más de la mitad del voltaje de suministro, por lo que hay un pequeño error de cálculo allí (probablemente debido a valores aproximados en el cálculo). Inicialmente, la corriente en R1 será de 2 mA ( el capacitor actúa como un cortocircuito ) y caerá exponencialmente a 1 mA (casi) ( el capacitor actúa como un circuito abierto ) después de aproximadamente 5 constantes de tiempo, suponiendo que no haya carga inicial en el capacitor en t = 0.

riccs_0x

Gracias a Tony y JIm; Lo estoy comprobando; ¡vaya! No pensé de esta manera, =)

Jim Dearden

Y... considere si cambió su circuito V,R1,R2 a su equivalente de Thevenin (10V, 5k) mientras cargaba el capacitor.

riccs_0x

Es otra forma; pero esta vez el tío Thevenin no estaba permitido en la pregunta. Sin embargo, estoy haciendo esto también. =)

usuario110971

¿Por qué no usas la impedancia del capacitor 1/sC? Es el en paralelo con la resistencia. Es sencillo después de eso.

Chu

Mantenga los cálculos en fracciones adecuadas durante el mayor tiempo posible. Y si debe usar fracciones decimales, aplique las reglas habituales para el redondeo.

Respuestas (1)

Corriente en R1R1R{_1} del divisor de resistencia con capacitor

se ve bien. ahora repite hasta que puedas hacerlo en tu cabeza en 10s. 63%Vin en ReqC hacia I= V/Rtot
Con solo una simple inspección, no puede obtener el voltaje a través del capacitor a más de la mitad del voltaje de suministro, por lo que hay un pequeño error de cálculo allí (probablemente debido a valores aproximados en el cálculo). Inicialmente, la corriente en R1 será de 2 mA ( el capacitor actúa como un cortocircuito ) y caerá exponencialmente a 1 mA (casi) ( el capacitor actúa como un circuito abierto ) después de aproximadamente 5 constantes de tiempo, suponiendo que no haya carga inicial en el capacitor en t = 0.
Gracias a Tony y JIm; Lo estoy comprobando; ¡vaya! No pensé de esta manera, =)
Y... considere si cambió su circuito V,R1,R2 a su equivalente de Thevenin (10V, 5k) mientras cargaba el capacitor.
Es otra forma; pero esta vez el tío Thevenin no estaba permitido en la pregunta. Sin embargo, estoy haciendo esto también. =)
¿Por qué no usas la impedancia del capacitor 1/sC? Es el en paralelo con la resistencia. Es sencillo después de eso.
Mantenga los cálculos en fracciones adecuadas durante el mayor tiempo posible. Y si debe usar fracciones decimales, aplique las reglas habituales para el redondeo.

broma · Answer 1

Mi primer instinto sería primero aplicar Thevenin a $V$ , $R_1$ , y $R_2$ para reducirlo a un problema RC simple en serie, cuya solución es:

\begin{aligned} R_{t h} & = \frac{R_{1} \cdot R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = 5 k Ω \\ V_{t h} & = V \cdot \frac{R_{2}}{R_{1} + R_{2}} = \frac{1}{2} V \\ τ & = R_{t h} \cdot C_{1} = 6 EM \\ V_{X} = V_{R_{1}} & = V_{t h} \cdot (1 - {mi}^{- \frac{t}{τ}}) = \frac{1}{2} V \cdot (1 - {mi}^{- \frac{t}{τ}}) \end{aligned}

$\begin{align*} R_{th} &= \frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2} = 5\:\textrm{k}\Omega\\ \\ V_{th} &= V\cdot\frac{R_2}{R_1+R_2} = \frac{1}{2}\:V \\ \\ \tau&= R_{th} \cdot C_1 = 6\:\textrm{ms}\\ \\ V_x=V_{R_1}&=V_{th}\cdot\left(1-e^{-\cfrac{t}{\tau}}\right)=\frac{1}{2}\:V\cdot\left(1-e^{-\cfrac{t}{\tau}}\right) \end{align*}$

Pero ese no es un enfoque general. Simplemente funciona en este caso.

El análisis nodal es mucho, mucho más general y lo sería, establecer el nodo inferior arbitrariamente en $0\:\textrm{V}$ :

\begin{aligned} \frac{V_{X}}{R_{1}} + \frac{V_{X}}{R_{2}} + C_{1} \frac{d V_{X}}{d t} & = \frac{V}{R_{1}} + \frac{0 V}{R_{2}} \\ V_{X} \cdot (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}) + C_{1} \frac{d V_{X}}{d t} & = \frac{V}{R_{1}} \\ \frac{d V_{X}}{d t} + \frac{1}{C_{1} \frac{R_{1} \cdot R_{2}}{R_{1} + R_{2}}} V_{X} & = \frac{V}{R_{1} C_{1}} \\ \frac{d V_{X}}{d t} + \frac{1}{C_{1} R_{t h}} V_{X} & = \frac{V_{t h}}{C_{1} R_{t h}} \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{V_x}{R_1} + \frac{V_x}{R_2} + C_1\frac{\textrm{d} V_x}{\textrm{d} t}&= \frac{V}{R_1} + \frac{0\:\textrm{V}}{R_2} \\ \\ V_x\cdot\left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right) + C_1\frac{\textrm{d} V_x}{\textrm{d} t}&= \frac{V}{R_1} \\ \\ \frac{\textrm{d} V_x}{\textrm{d} t}+\frac{1}{C_1\frac{R_1\cdot R_2}{R_1+R_2}}V_x&= \frac{V}{R_1 C_1} \\ \\ \frac{\textrm{d} V_x}{\textrm{d} t}+\frac{1}{C_1 R_{th}}V_x&= \frac{V_{th}}{C_1 R_{th}} \end{align*}$

Que está en una forma ODE de primer orden muy familiar. Puedes aplicar Laplace a eso.

Pero solo usando el método de solución ODE habitual para primer orden, da:

\begin{aligned} {PAG}_{t} = \frac{1}{C_{1} R_{t h}}, q_{t} & = \frac{V_{t h}}{C_{1} R_{t h}}, ∴ \frac{d V_{X}}{d t} + {PAG}_{t} V_{X} = q_{t} \\ m & = {mi}^{\int {PAG}_{t} d t} = {mi}^{[\frac{t}{C_{1} R_{t h}}]} \\ V_{X} & = \frac{1}{m} \int m q_{t} d t \\ = {mi}^{[\frac{- t}{C_{1} R_{t h}}]} \int {mi}^{[\frac{t}{C_{1} R_{t h}}]} \frac{V_{t h}}{C_{1} R_{t h}} d t \\ = {mi}^{[\frac{- t}{C_{1} R_{t h}}]} \cdot (\frac{V_{t h}}{C_{1} R_{t h}}) \cdot \int {mi}^{[\frac{t}{C_{1} R_{t h}}]} d t \\ = {mi}^{[\frac{- t}{C_{1} R_{t h}}]} \cdot (\frac{V_{t h}}{C_{1} R_{t h}}) \cdot (C_{1} R_{t h} {mi}^{[\frac{t}{C_{1} R_{t h}}]} + C_{0}) \\ = V_{t h} {mi}^{[\frac{- t}{C_{1} R_{t h}}]} \cdot ({mi}^{[\frac{t}{C_{1} R_{t h}}]} + C_{0}) \\ = V_{t h} (1 + C_{0} {mi}^{[\frac{- t}{C_{1} R_{t h}}]}) \end{aligned}

$\begin{align*} P_t = \frac{1}{C_1 R_{th}},~~Q_t &= \frac{V_{th}}{C_1 R_{th}},~~\therefore~~ \frac{\textrm{d} V_x}{\textrm{d} t}+P_t V_x= Q_t\\ \\ \mu &= e^{\int P_t\:\textrm{d} t} = e^{\left[\cfrac{t}{C_1 R_{th}}\right]}\\ \\ V_x &= \frac{1}{\mu}\int \mu\: Q_t~ \:\textrm{d} t \\ \\ &= e^{\left[\cfrac{-t}{C_1 R_{th}}\right]}\int e^{\left[\cfrac{t}{C_1 R_{th}}\right]}\: \frac{V_{th}}{C_1 R_{th}}~ \:\textrm{d} t \\ \\ &= e^{\left[\cfrac{-t}{C_1 R_{th}}\right]}\cdot \left(\frac{V_{th}}{C_1 R_{th}}\right)\cdot \int e^{\left[\cfrac{t}{C_1 R_{th}}\right]}\:~ \:\textrm{d} t \\ \\ &= e^{\left[\cfrac{-t}{C_1 R_{th}}\right]}\cdot \left(\frac{V_{th}}{C_1 R_{th}}\right)\cdot \left(C_1 R_{th}\: e^{\left[\cfrac{t}{C_1 R_{th}}\right]}+C_0\right) \\ \\ &= V_{th}\:e^{\left[\cfrac{-t}{C_1 R_{th}}\right]}\cdot \left(e^{\left[\cfrac{t}{C_1 R_{th}}\right]}+C_0\right) \\ \\ &= V_{th}\left(1 + C_0\:e^{\left[\cfrac{-t}{C_1 R_{th}}\right]}\right) \end{align*}$

Usando la condición inicial de que $V_x\left(t=0\right) = 0\:\textrm{V}$ , esto resulta en $C_0=-1$ , entonces:

\begin{aligned} V_{X} & = V_{t h} (1 - {mi}^{[\frac{- t}{C_{1} R_{t h}}]}) = \frac{1}{2} V \cdot (1 - {mi}^{- \frac{t}{τ}}) \end{aligned}

$\begin{align*} V_x &= V_{th}\left(1 -e^{\left[\cfrac{-t}{C_1 R_{th}}\right]}\right) = \frac{1}{2}\:V\cdot\left(1-e^{-\cfrac{t}{\tau}}\right) \end{align*}$

Y ahora puede ver por qué se elegiría primero el enfoque de Thevenin.

O use Laplace aplicado a la ODE mencionada anteriormente. Usando la condición inicial conocida, se obtiene $Y_s = \frac{Q_t}{s^2+P_t s}$ , que se resuelve como $y_t=\frac{Q_t}{P_t}\left(1-e^{-P_t t}\right)=V_{th}\left(1-e^{\frac{-t}{\tau}}\right)=\frac{1}{2} V\left(1-e^{\frac{-t}{\tau}}\right)$ .

Por supuesto, sabiendo $V_x$ es trivial responder a su pregunta de título con respecto a la corriente en $R_1$ con el tiempo.

¡Gracias a todos ustedes, he aprendido hoy a pensar un poco diferente! Nunca pensé que esto puede ser tan rico.

Corriente en R1R1R{_1} del divisor de resistencia con capacitor

riccs_0x

Tony Estuardo EE75

Jim Dearden

riccs_0x

Jim Dearden

riccs_0x

usuario110971

Chu

Respuestas (1)

broma

riccs_0x

circuito RC con voltaje de entrada de pulso; encontrar las constantes de tiempo

¿Cómo incluye la transformada de Laplace la respuesta transitoria?

Concepto de circuito degenerado y sus implicaciones teóricas y prácticas

Carga y descarga de condensadores.

¿Cómo calcular el voltaje inicial en un circuito eléctrico simple?

La transformada de Laplace y la idea del análisis en el dominio de la frecuencia

efectos de la retroalimentación sobre el ruido y las no linealidades

¿Cómo analizar un capacitor conectado a un voltaje de CC directamente (sin resistencia)?

Cómo calcular la constante de tiempo para un circuito RC con más de una resistencia

Circuito RC Carga y descarga