¿Por qué son necesarias las dimensiones adicionales?

En realidad, démosle una oportunidad a esto. Esto no es evidencia de dimensiones adicionales (después de todo, la no observación de dimensiones adicionales/supersimetría es una de las principales razones por las que la teoría de cuerdas no se acepta universalmente como verdadera), pero este es un argumento de por qué las dimensiones adicionales pequeñas no son observables. .

Considere una partícula en una caja en mecánica cuántica de$n$dimensiones espaciales. Si hace esto, entonces la ecuación de Schrödinger para un estado propio de energía pura se convierte (dentro del cuadro):

Y donde obligas$\psi$ser cero en todas partes fuera de la caja, y en el límite de la caja. Usando un montón de maquinaria PDE que involucra la separación de variables, encontramos que la única solución a esta ecuación es una suma infinita de términos que se ven como

donde todos los$m$son números enteros y$\Pi$representa un producto con un término de seno para cada dimensión en nuestro espacio${}^{1}$. Reemplazando esto en la ecuación de Schrödinger nos dice que la energía de este estado es

Ahora, supongamos que en la primera$d$dimensiones, nuestra caja tiene un gran ancho$L$, mientras que en la última$n-d$dimensiones, nuestra caja tiene un ancho pequeño$\ell$. Entonces, podemos dividir esta suma en

Entonces, ahora podemos ver lo que está sucediendo, si$L \gg \ell$, hay un costo de energía mucho mayor asociado con el movimiento en el más restringido o más pequeño$n-d$direcciones que hay en el movimiento en el menos restringido$d$dimensiones: las transiciones más pequeñas cuestan una energía proporcional al cuadrado inverso del tamaño de la dimensión. Al hacer que estas dimensiones sean lo suficientemente pequeñas, podemos garantizar que ningún experimento que hayan realizado los humanos se haya acercado siquiera al umbral de energía necesario para inducir esta transición, lo que significa que la parte de la función de onda de una partícula asociada con estas dimensiones adicionales está obligada a permanecer como está. haciéndolos inobservables.

${}^{1}$Así que si$n=2$, un estado típico sería algo así como$\psi=A\sin(\frac{2\pi x}{L_{x}})\sin(\frac{5\pi y}{L_{y}})$

Por qué la teoría de supercuerdas necesita$9+1$dimensiones del espacio-tiempo? es de hecho una pregunta muy buena y fundamental para hacer. Desafortunadamente, es muy difícil responder a esta pregunta usando solo argumentos intuitivos para profanos.

El culpable es el concepto de una anomalía (mecánica cuántica) . En general, la presencia de anomalías haría que la versión cuántica de cualquier teoría clásica$^{1}$matemáticamente inconsistente.

Resulta que las condiciones de cancelación de anomalías para la teoría de cuerdas (cuántica) son extremadamente restrictivas. Una de sus consecuencias es que las soluciones de espacio-tiempo plano de la teoría de supercuerdas (perturbativa, cuántica) deben ser$9+1$dimensional.

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$^{1}$El término teoría clásica aquí significa una teoría donde la constante de Planck$\hbar=0$es cero La versión clásica de la teoría de cuerdas puede vivir en cualquier dimensión del espacio-tiempo.

Vamos a tomar sus preguntas por turno

1. Las teorías que tienen más dimensiones se toman en serio, porque sus predicciones coinciden con la evidencia experimental. Por supuesto, el hecho de que vivamos en solo 4 dimensiones restringe tales ideas (aunque la idea de otra gran dimensión no se descarta por nuestra no observación directa de ella (cf. Flatland, donde un objeto 3D ingresa al mundo 2D), sino por el hecho de que tendríamos que observar socios escalares (con nuestro grupo 4D Lorentz) de todas las partículas). Sin embargo, las teorías con dimensiones extra compactas pueden explicar la ruptura de la supersimetría (si existe SUSY), el hecho de que tengamos 3 generaciones de materia y por qué las generaciones tienen masas tan diferentes, o la razón por la cual la gravedad es débil. Una predicción clave de las dimensiones extra compactas es una "torre de excitaciones" de las partículas, con divisiones de masa que dependen del tamaño de la dimensión adicional. Los GUT en dimensiones adicionales predicen una vida útil bastante "pequeña" del protón, por lo que Hyper-Kamiokande puede abordarlos .
2. Se podría "probar" que estas dimensiones adicionales existen, si una teoría con dimensiones adicionales pudiera explicar las discrepancias dentro del Modelo Estándar de Física de Partículas y/o el Modelo Estándar de Cosmología. Por otra parte, uno tenía que derivar una predicción distinta de la teoría que se puede refutar experimentalmente. Demostrar una teoría (o una característica de la misma) es algo difícil de hacer, especialmente si la característica es tan general como una dimensión adicional.
3. En realidad, no hay necesidad ni una fuerte indicación de dimensiones adicionales. Una buena razón sería que uno puede tener una Gran Teoría Unificada donde la ruptura de simetría en la escala alta ocurre por el hecho de que la dimensión adicional es compacta, en lugar de tener una ruptura de simetría espontánea donde un campo escalar desarrolla un valor esperado de vacío. El frenado espontáneo en dos escalas diferentes (escala GUT y escala electrodébil) introduciría muchas preguntas sobre la relación de las dos escalas y la teoría se volvería potencialmente inestable. Ya se han mencionado más razones para considerar las dimensiones adicionales en 1.

En un sentido abstracto, una "dimensión" es solo un componente de un vector de estado. Por ejemplo, se podría hablar de un espacio de fase de 10 dimensiones que consta de 3 componentes para la posición, 3 para el momento lineal, 3 para el momento angular y 1 para la energía. O uno podría tener un vector de "evento" que incluye una dimensión adicional que representa el tiempo.

Hay buenas razones para creer que no existe una cuarta dimensión espacial completamente análoga a las tres dimensiones espaciales con las que estamos familiarizados: si hubiera alguna forma de moverse perpendicularmente al espacio, esto estaría sucediendo todo el tiempo como resultado de la interacción. con cualquier objeto que ya se estaba moviendo en esa dirección. Por ejemplo, considere que un sistema de 4 cuerpos (gravitatorio o electromagnético) nunca permanecerá dentro de un plano una vez que se interrumpa porque es un equilibrio inestable. Tal vez exista una cuarta dimensión de este tipo, pero tendría que tener una topología diferente o tendría que haber algún tipo de fuerza restauradora que nos mantenga confinados en nuestro hiperplano. El último caso se ilustra con una mesa de billar: hay una tercera dimensión perpendicular a la mesa, pero las bolas están pegadas a la mesa debido a la gravedad y la fuerza contraria la proporciona la propia mesa. Hay unexcelente libro llamado Flatland que puedes descargar gratis el cual aborda estos temas de una manera intuitiva y accesible.

La respuesta corta es: no hay prueba (eso no es evidencia experimental) hasta ahora.

La principal razón para considerar teorías con dimensiones adicionales es que (muchas) teorías que son complicadas en 4D pueden reformularse en términos más simples como una teoría con dimensiones adicionales, que se enrollan en círculos diminutos (o, más generalmente, en variedades diminutas ) de modo que no los experimente como las otras dimensiones "grandes" (llamadas "no compactas"). Lo que se entiende por "más simple" es que, por ejemplo, una teoría con un solo campo (vector o tensor) (piense en una partícula) en dimensiones superiores se manifiesta como varios campos de diferentes tipos en dimensiones inferiores, y sus interacciones complicadas se describen geométricamente. por la forma del colector de compactación . En física, a la gente le gusta la geometrización porque se puede argumentar que es más intuitiva.

Al tratar de formular una teoría que describa con precisión las interacciones de las partículas, uno se enfrenta a muchas posibilidades y las que se pueden formular con dimensiones adicionales son algo más simples. Por lo tanto, esto se usa a menudo como un principio rector para formular una teoría correcta , es decir, una teoría que no se contradice con los experimentos. Hay varios ejemplos que cumplen estos requisitos. Pero podría resultar que ninguna de estas teorías (con dimensiones adicionales) sobrevivirá cuando se recopilen más datos experimentales y se comparen con las predicciones de estas teorías.

3+1 solo describe el 'escenario' vacío donde suceden las cosas.
Un escenario vacío es insuficiente para describir el mundo.
Como respuesta, las dos líneas anteriores parecen ser suficientes, pero diré un poco más.
Parece tan difícil probar, como refutar, su enfoque radical. Si alguien pudiera probar que 3+1 es suficiente, esta pregunta no estaba aquí. Creo que estás suponiendo que 3+1 es toda la historia. Presumir no es bueno.
El objetivo de la física es explorar la mejor representación del mundo ya veces es necesario 'complicar' un poco para ver más claro. La teoría de Kaluza-Klein tiene una dimensión más: la carga. Esto tiene que ser visto como una propiedad inherente a los 'actores' (en última instancia, el campo), y para mí este tipo de representación tiene sentido.
¿Qué tan seguros estamos de que 3+1+1 no es suficiente? Creo que este camino tiene más que explorar antes de que pueda considerar ir a dimensiones superiores, pero esto no es más que un sentimiento personal.
Como ejemplo: el electromagnetismo ocurre en el mundo 3+1 (y el conjunto de números 'reales' es suficiente: amplitudes reales, frecuencias reales, fases reales, etc.) pero la representación matemática es mucho más conveniente cuando usamos 'complejos'. ' números en lugar de 'reales'.
No estoy hablando en defensa de ninguna teoría 'extraña', pero parece imprudente ser tan radicalmente simplista y decir que 3+1 es suficiente.

surgió una pregunta metafísica similar en skeptics.stackexchange

Desde el punto de vista de los físicos, las teorías sólo pueden ser falsificadas experimentalmente . Como se indica en el enlace, los láseres atómicos podrían medir directamente las propiedades del espacio. Actualmente, solo se puede demostrar indirectamente que el concepto de espacio-tiempo como una entidad/objeto físico real se ajusta a los datos de medición (por ejemplo, ondas gravitacionales de Doppelpulsars predichas por ART). Pero no puedes medir el espacio como si usaras un microscopio de fuerza atómica para "tocar" los átomos.

Actualmente sigue siendo una pregunta metafísica si asumes que el espacio es solo un concepto matemático que describe o un objeto del mundo real. La protofísica argumenta que la geometría es solo un conjunto de matemáticas. herramientas para describir el universo, el espacio-tiempo no es un objeto.

Una buena pregunta podría ser, ¿puedes describir un espacio-tiempo 4dim con un espacio-tiempo más dimensional consistentemente? ¿Hay algún tipo de redundancia matemática? O son las matemáticas. concepto de dimensionalidad tan único, que forzaría propiedades muy específicas de la física que tratamos de modelar dentro de él. Este es un tipo de principio de la Navaja de Ockham. Una explicación física debe ser lo más simple posible. Actualmente, estas teorías multi-dim de todo (TOE) necesitan estas dimensiones adicionales para modelar la física que intentan describir, pero también dan muchas soluciones no falsables, cuantas más, más dimensiones usan afaik. Así que este es el límite entre la física de laboratorio, la metafísica/filosofía. Realmente no puedo argumentar lógicamente aquí sin hipótesis ad-hoc y suposiciones subjetivas.

1. Por la esperanza de cuantificar la gravedad y unificarla con otras fuerzas. El primer intento de unificar fuerzas con pequeñas dimensiones extra fue la teoría de Kaluza-Klein , que añadió una única dimensión para unificar la gravedad con el electromagnetismo. La teoría de cuerdas también puede incluir las interacciones nucleares fuertes y débiles.
2. Todavía no hay nada empírico, pero hay numerosas propuestas de cómo podríamos conseguirlo, dependiendo del tamaño de estas dimensiones. Hay un buen beneficio teórico de ellos: se pliegan en una variedad, y la forma y el tamaño de los agujeros en esa variedad determinan respectivamente las leyes de la física y las constantes en ellos, por lo que, en principio, la teoría de cuerdas puede explicar toda la física solo en términos de la forma que toman estas dimensiones (que los teóricos generalmente esperan que sea una variedad de Calabi-Yau ). Lamentablemente, estamos muy lejos de saber qué forma tiene.
3. Esta página se puede resumir así: "no hay una explicación fácil, pero haré varios intentos con explicaciones medio fáciles". Las primeras teorías de cuerdas solo consideraban los bosones y requerían$26$dimensiones; Las teorías de cuerdas posteriores son supersimétricas para incorporar fermiones y requieren$10$. El enlace anterior se concentra en las razones$26$es especial en el primer caso; ligeras variaciones sobre los mismos argumentos explican$10$en el segundo caso.

Su línea de argumentos es buena.

El lenguaje es una cosa muy confusa. Por eso -> Hay muchos aspectos diferentes de lo que llamas Dimensión tanto en física como en matemáticas.

En matemáticas, la dimensión se define como una parte del método de coordenadas de Descarte.

En física, por otro lado, la dimensión se define como la capacidad de VIAJAR. Entonces, en mi habitación puedo ir y venir, pero en el tiempo solo puedo ir hacia adelante, por lo tanto, estrictamente hablando, el tiempo tampoco es una dimensión física. ¡Pero! En matemáticas, dado que el tiempo puede usarse como parámetro, puede convertirse fácilmente en una dimensión.

Asi que. En física teórica estamos en 3+1 dimensiones, en matemáticas puede ser cualquier cosa, y en la vida real solo 3.

Descubrir una nueva dimensión es algo muy complicado: primero necesita una BUENA teoría que le permita construir un experimento que muestre que algo PUEDE viajar en la 4ª o 5ª dimensión.