Dos puntos de un cuadrado KKK determinan una diagonal de otro cuadrado contenido en KKK

Question

Dos puntos de un cuadrado KKK determinan una diagonal de otro cuadrado contenido en KKK

Matemáticas
probabilidad
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probabilidad geométrica
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MatemáticasTripos

Dejar $K:=[0,1]^2$ ser un cuadrado en $\mathbb{R}^{2}$ . Seleccionamos 2 puntos al azar $A$ , $B$ $\in [0,1]^{2}$ en esta plaza. ¿Cuál es la probabilidad de que el cuadrado cuya diagonal sea el segmento de recta $AB$ , está contenido en $K$ ?

Descubrí que si fijamos las coordenadas de $A=(x,y)\in [0,1]^{2}$ , entonces la probabilidad es igual

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} [1 - (X - y)^{2} - (1 - X - y)^{2} \times 1 (X + y < 1)] d X d y,

$\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1}[1-(x-y)^{2}-(1-x-y)^{2}\times\textbf{1}(x+y<1)]dxdy \, ,$ dónde:

1 (x + y < 1) := 1

$\textbf{1}(x+y<1):=1$ si

x + y < 1

$x+y<1$ y

1 (x + y < 1) := 0

$\textbf{1}(x+y<1):=0$ de lo contrario.

Algunos intentos (o algunos elementos de flujo de conciencia)

Abordé otros problemas de probabilidad geométrica, pero este problema no se puede resolver con métodos estándar (es decir, encontrando dependencia entre la información dada en cuestión, luego haciendo, al menos, un gráfico aproximado en el sistema de coordenadas cartesianas e integrando el área bajo el gráfico de dependencias detectadas dentro de restricciones específicas). Tengo una idea completa, incluso intuitiva, de cómo llegar a esa solución.

Lo único que me viene a la mente es que en este problema debemos considerar complemento de evento dado, es decir conjunto de estos puntos que determinan cuadrado no contenido completamente en el cuadrado $K$ . Esto puede explicar los signos menos. Entonces, presumiblemente, la probabilidad de que elijamos incorrectamente es

\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} [(X - y)^{2} + (1 - X - y)^{2} \times 1 (X + y < 1)] d X d y

$\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1}[(x-y)^{2} + (1-x-y)^{2}\times\textbf{1}(x+y<1)] dxdy$

Sin embargo, esto es solo intuición después de resolver hasta ahora muchos problemas de, digamos, probabilidad "elemental"...

Motivación para conocer el método de solución de este problema.

Estoy muy interesado en saber cómo derivar una solución bastante rigurosa a este problema. Estaría muy agradecido por la ayuda.

Nota : esta pregunta no es de ningún concurso matemático actual ni forma parte de ninguna "tarea"/"trabajo de curso".

Respuestas (1)

Dos puntos de un cuadrado KKK determinan una diagonal de otro cuadrado contenido en KKK

joriki · Answer 1

Este tipo de problema se resuelve más eficientemente considerando, en lugar de los dos puntos, su punto medio y su desplazamiento desde el punto medio. Por simetría, podemos restringir el punto medio a uno de los ocho octantes del cuadrado sin pérdida de generalidad, digamos, a $0\le x\le y\le\frac12$ . Entonces la restricción restringe los puntos a un cuadrado de lado $2x$ centrados en el punto medio, mientras que sin la restricción estarían restringidos a un rectángulo de longitudes de lado $2x$ y $2y$ centrada en el punto medio.

En lugar de calcular el jacobiano y los factores de $2$ , podemos simplemente formar la razón de las integrales con y sin la restricción. Tenemos

\int_{0}^{\frac{1}{2}} d y \int_{0}^{y} d X X^{2} = \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{1}{2}} d y y^{3}

$\int_0^\frac12\mathrm dy\int_0^y\mathrm dxx^2=\frac13\int_0^\frac12\mathrm dyy^3$

y

\int_{0}^{\frac{1}{2}} d y \int_{0}^{y} d X X y = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{1}{2}} d y y^{3},

$\int_0^\frac12\mathrm dy\int_0^y\mathrm dxxy=\frac12\int_0^\frac12\mathrm dyy^3\;,$

entonces la probabilidad deseada es

\frac{1}{3} \div \frac{1}{2} = \frac{2}{3} .

$\frac13\div\frac12=\frac23\;.$

Aquí está el código Java que confirma el resultado con una simulación.

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joriki

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