¿Cómo funciona la derivación estándar de la ecuación de Bernoulli?

Lo que sucede es que la derivación estándar de la ecuación de Bernoulli a menudo implica agitar la mano, omitiendo justificaciones para las suposiciones (a veces implícitas). Por lo tanto, de hecho puede ser poco convincente.

En este sentido, recomiendo encarecidamente comprobar otras derivaciones, como las de este hilo muy informativo en PhysicsForuns, cuyo punto de partida son las ecuaciones de Euler (ver también esta pregunta ) o de Navier-Stokes.

Pero ahora a tus preguntas:

Se supone que el teorema del trabajo y la energía se aplica a las partículas, no a los sistemas de partículas.

También puede aplicarlo, por ejemplo, a un cuerpo rígido. El fluido, por supuesto, no es un cuerpo rígido, pero estamos considerando que está restringido a un tubo de flujo y cualquier cambio relevante en la forma del elemento fluido se refleja en un cambio de velocidad y se explica por el término cinético en la ecuación de Bernoulli.

Por eso también puedes aplicar$W=F\Delta x$en los extremos del tubo de flujo: lo que sucede microscópicamente es complicado, pero todavía tienes una fuerza que actúa a cierta distancia sobre una masa incompresible.

¿no debería [...] incluirse también la energía potencial relacionada con la disposición de las diferentes partículas en el líquido?

Cuando sea pertinente se puede hacer. Un ejemplo es cuando las partículas pueden empujarse más juntas, cuando debemos considerar la compresibilidad. ecuación de Bernoulli puede entonces generalizarse a flujos compresibles sustituyendo su término de presión por un potencial de presión apropiado .

Lo que nos lleva a la última pregunta de OP:

¿Por qué solo usamos el cambio en la energía cinética y la energía potencial gravitacional?

Porque es sencillo y en muchos casos suficiente. Pero cuando no es suficiente, todo tipo de cosas se pueden agrupar en el término presión , ya que "la presión es la capacidad de un sistema cerrado para realizar un trabajo cuando cambia de volumen". En cuanto al término potencial gravitacional,$gz$, puede ser sustituido por cualquier otro potencial a granel relevante$\Psi$.

No estoy seguro de lo que quiere decir con "partícula" aquí. Si quiere decir "molécula de fluido", recuerde que la ecuación de Bernoulli se basa en el modelo continuo de fluido (para obtener una derivación, consulte, por ejemplo, Dinámica de fluidos de Kundu & Cohen) y no en la imagen molecular. Entonces, cualquier pregunta enmarcada en términos de partículas de fluido es irrelevante para la ecuación de Bernoulli. La pregunta relevante entonces se convierte en "¿por qué la ecuación de Bernoulli derivada para el modelo continuo funciona para un fluido real hecho de partículas?" y la respuesta es simplemente la justificación de la aplicabilidad del modelo continuo a sistemas hechos de (gran número de) partículas estrechamente espaciadas, en este caso fluidos.

Pero supongo que quiso decir "partícula" en el sentido en que se usa en la mecánica continua. De hecho, se tiene en cuenta la "disposición de diferentes partículas en el líquido". Diferentes partículas de fluido poseen diferente energía potencial gravitacional en virtud de su separación vertical y este término aparece en la ecuación de Bernoulli. Si está pensando en términos de energía de interacción entre moléculas (ya dije que esta sería una pregunta irrelevante en el contexto de un continuo, pero entonces...) estas son fuerzas de corto alcance que se modelan como tensiones en el fluido continuo. La ecuación de Bernoulli explica la presencia de esfuerzos normales (presión) pero se limita a flujos en los que no hay esfuerzo cortante.

Ahora llegando a su segunda pregunta que pregunta por qué el término de trabajo debe ser igual$p_1A_1v_1~dt-p_2A_2v_2~dt$. Esta ecuación está escrita para un tubo de flujo de longitud finita para el cual se puede suponer que la presión y la velocidad son uniformes en su sección transversal de entrada y salida. En esta derivación, el tubo de corriente se trata como una caja negra que ejerce presión sobre el fluido que lo rodea. Ahora, empujar el fluido dentro o fuera del tubo de corriente a través de su entrada y salida, contra la presión que prevalece allí, requiere trabajo, y esta tasa de trabajo es lo que se expresa por la$p_1A_1v_1~dt-p_2A_2v_2~dt$término. El centro de masa del tubo de flujo nunca cambia en virtud de nuestra suposición de flujo incompresible (no puede haber flujo de entrada/salida de masa neta de un tubo de flujo de geometría fija).

La ecuación de Bernouilli es solo una aproximación. Ignora muchas características locales de los flujos de fluidos reales, incluso en el caso incompresible y no viscoso.

Si piensa en la situación más simple, es decir, todas las "partículas" de fluido tienen masa y volumen idénticos, su volumen no cambia (porque el fluido es incompresible) y el flujo es constante, debería poder ver que

1. La energía potencial total sumada sobre todas las partículas que entran o salen del volumen de control son las que se dan en la derivación, aunque en cualquier intervalo de tiempo pequeño$dt$las partículas individuales en la entrada y la salida son diferentes.

2. De manera similar, puede calcular el trabajo neto realizado en cualquier partícula en particular a medida que fluye a través del volumen de control y luego sumar todo el volumen. Dado que el trabajo realizado es constante en el tiempo para un flujo constante, de nuevo no importa que en un intervalo$dt$las partículas individuales involucradas están todas en diferentes posiciones en el flujo; la suma de todas las partículas en el volumen es la misma.

Si el fluido es homogéneo, los mismos argumentos funcionan para una mezcla de diferentes masas y tamaños de partículas (p. ej., la mezcla de gases en el aire) porque, en un sentido estadístico, la distribución de las partículas no cambia con el tiempo.

En el caso más general, por ejemplo, el flujo a través de una tubería helicoidal que actúa de manera similar a una centrífuga, estas suposiciones pueden no ser ciertas y, estrictamente hablando, la ecuación de Bernoulli no se aplica, aunque aún puede ser una aproximación útil en situaciones prácticas.