¿Cómo funciona el electromagnetismo en un universo con curvatura negativa?

La caída de la intensidad de campo se mide en física mediante el determinante de van Vleck:

$$\begin{equation} \Delta_\gamma (x,y) = (-1)^d \frac{\det (\nabla_\mu^x \nabla_\nu^y \sigma_\gamma(x,y))}{\sqrt{g(x)g(y)}} \end{equation}$$

Que se define para las geodésicas$\gamma$entre los puntos$x$y$y$, con$\sigma_\gamma$el intervalo geodésico entre los dos. El determinante de van Vleck describe la expansión del flujo geodésico en el espaciotiempo, en particular para los espaciotiempos ultraestáticos.

$$\begin{equation} ds^2 = -dt^2 + g_{ij}(x^i) dx^i dx^j \end{equation}$$

el flujo de un campo en$y$con fuente en$x$es descrito por

$$\begin{equation} \| \vec J \| = \frac{\Delta_\gamma(\vec x, \vec y)}{s^{d-1}} \end{equation}$$

con$s$la distancia espacial entre los dos puntos y$\Delta$el determinante de van Vleck de la hipersuperficie espacial. En el límite de campo débil, el determinante de van Vleck es

$$\begin{equation} \Delta_\gamma(x, y) \approx 1 + \frac 16 R_{ab} t^a t^b s^2_\gamma(x, y) \end{equation}$$

con$t$la tangente de$\gamma$. Por lo tanto, para el espacio hiperbólico, con la hipersuperficie similar al espacio

$$\begin{equation} R_{ab} = \frac{d-1}{\alpha} g_{\mu\nu} \end{equation}$$

entonces tenemos la aproximación

$$\begin{equation} \| \vec J \| = \frac{1}{s^{d-1}} + \frac{d-1}{6\alpha} \frac{|t|}{s^{d-3}} \end{equation}$$

Entonces, globalmente, la caída del flujo dependerá de la distancia en el espacio hiperbólico, por ejemplo, en el modelo hiperboloide.

$$\begin{equation} s_\gamma(x,y) = \operatorname{arcosh}(x^0 y^0 - \sum x^i y^i) \end{equation}$$

Para obtener más detalles sobre el determinante de van Vleck, puede consultar "Relatividad: la teoría general" de Synge, o el artículo de Visser sobre el tema.