Métrica de seguir el espacio-tiempo y el índice de refracción

tengamos métricas

$$ds^{2} = f(\mathbf r)dt^{2} - h(\mathbf r )\delta_{ij}dx^{i}dx^{j}.$$ Caliente para mostrar que el movimiento de la luz en el espacio-tiempo con esta métrica es igual al movimiento en medios continuos con índice de refracción $n = \sqrt{\frac{h}{f}}$?

¿Es lógico partir de las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo,

$$D_{\mu}D^{\mu}A^{\nu} - R^{\nu}_{\quad \sigma}A^{\sigma} = 4\pi J^{\nu},$$ y luego mostrar que es igual a las ecuaciones de Maxwell para medios continuos (por cierto, ¿cómo escribirlas para este caso?)?

Editar.

Hmm, la tarea está casi resuelta.

Una edición más.

esta solucionado

Primero, escribí la ecuación de Maxwell para los medios en forma de

$$\partial_{\alpha}F_{\beta \gamma} + \partial_{\beta}F_{\gamma \alpha} + \partial_{\gamma}F_{\alpha \beta} = 0, \qquad (1)$$ $$\quad \partial_{\beta}H^{\beta \alpha} = 4\pi j^{\alpha}, \qquad (2)$$ dónde $H^{\alpha \beta} = \varepsilon \eta^{\alpha \mu}\eta^{\beta \nu}F_{\mu \nu}$, $$\eta^{\alpha \mu} = diag \left(\sqrt{\mu \varepsilon}, -\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}, -\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}, -\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} \right).$$ Esta conexión será obvia si escribe la conexión $$F(\mathbf E , \mathbf B ) \to F(\mathbf D , \mathbf H ) = H(\mathbf D , \mathbf H ).$$ En segundo lugar, escribí las ecuaciones para el espacio-tiempo curvo: $$D_{\alpha}f_{\beta \gamma} + D_{\beta}f_{\gamma \alpha} + D_{\gamma}f_{\alpha \beta} = \partial_{\alpha}f_{\beta \gamma} + \partial_{\beta}f_{\gamma \alpha} + \partial_{\gamma}f_{\alpha \beta} = 0, \qquad (3)$$ $$D_{\beta}h^{\beta \alpha} = \frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\beta}(\sqrt{-g}h^{\beta \alpha}) = 4 \pi J^{\alpha}, \qquad (4)$$ dónde $h^{\beta \alpha} = g^{\beta \mu}g^{\alpha \nu}f_{\mu \nu}$, y donde usé la igualdad para la derivada covariante del tensor antisimétrico cuando existe la convolución.

Entonces, si usa sustitución

$$F_{\alpha \beta} = f_{\alpha \beta}, \quad H^{\beta \alpha} = \sqrt{-g}g^{\alpha \mu}g^{\beta \nu}f_{\mu \nu}, \quad j^{\alpha} = \sqrt{-g}J^{\alpha},$$ las ecuaciones $(3), (4)$será "reducido" a $(1), (2)$.

Entonces todo lo que queda es encontrar la conexión entre las métricas y$\varepsilon , \mu$. No es difícil cuando la métrica es diagonal:

$$D^{i} = g^{i \alpha}g^{0\beta }F_{\alpha \beta} = -g^{i0}g^{0j}F_{j0} + g^{ij}g^{0l}F_{jl} + g^{ij}g^{00}F_{j0} = g^{ii}g^{00}F_{i0} = \frac{1}{fh}E^{i} = \varepsilon E^{i},$$ $$F^{ij} = g^{i \alpha}g^{j \beta }F_{\alpha \beta} = -g^{0i}g^{jk}F_{k0} + g^{ik}g^{j0}F_{k0} + g^{ik}g^{jl}F_{kl} = g^{ii}g^{jj}F_{ij} = \frac{1}{h^{2}}F_{ij} \Rightarrow$$ $$H_{m} = -\frac{1}{2}\varepsilon_{m ij}F^{ij} = \frac{B_{m}}{h^{2}} = \frac{B_{m}}{\mu},$$ entonces $$n = \sqrt{\varepsilon \mu} = \sqrt{\frac{h^{2}}{hf}} = \sqrt{\frac{h}{f}}.$$